Title: Matemática

[Image: Capa do livro de Matemática]

Capítulo 1: Fundamentos numéricos e algébricos

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Ao final deste capítulo, você será capaz de compreender e aplicar os sistemas de numeração decimal, binário e romano, além de identificar e operar com números naturais, inteiros, racionais e reais. Aprenderá a simplificar expressões algébricas, resolver equações e inequações do 1º grau, e trabalhar com produtos notáveis e fatoração. Também será capaz de resolver sistemas de equações lineares usando métodos como substituição e adição, e entenderá a importância do discriminante nas equações do 2º grau para determinar a natureza das raízes. Vamos nessa?

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Sistemas de numeração decimal, binário e romano

Você já parou para pensar por que só existem dez símbolos para representar todo e qualquer número natural? Quando vamos escrever qualquer quantidade, usamos apenas os símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e nada mais!!

Por que não temos mais símbolos do que estes? Por que não temos menos?? Por que são exatamente apenas estas dez figurinhas?
As respostas para estas perguntas está naquilo que chamamos de base de um sistema de numeração posicional!!

Os sistemas de numeração são ferramentas criadas pelas civilizações ao longo da história para representar e organizar quantidades. Eles constituem a base de diversas atividades humanas, como o cálculo, a organização de dados e a comunicação de informações numéricas. Neste tópico, vamos explorar três sistemas importantes: o decimal, o binário e o romano.

Base de um sistema de numeração
A base de um sistema de numeração é o número que indica a quantidade a partir da qual será formado um agrupamento para efeito de registro da contagem. Como exemplo, vejamos como os egípcios registravam quantidades.

Figura 1 - Sistema de numeração Egípcio

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Fonte: adaptado de Brasil Escola

Os egípcios agrupavam quantidade de dez em dez. A unidade (o número um) era representada por um traço vertical. Cada vez que se agrupavam dez unidades, a representação ganhava um novo símbolo no registro escrito, conforme vemos na figura acima.

Assim, cada vez que se alcançavam dez símbolos iguais, era necessário substituí-los por um novo símbolo na escrita da quantidade. Com isto, a medida em que as quantidades se tornavam cada vez maiores, era necessário a criação de mais e mais novos símbolos. Isto se dava pelo fato de que o sistema egípcio não era um sistema posicional.

O número 23, por exemplo, poderia ser representado de várias maneiras:

Figura 2 - Representação do número 23 no sistema Egípcio

[Image: Exemplos de como o número 23 pode ser apresentado]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Observe, no exemplo, que a representação do número 23 não depende da posição que os símbolos ocupam no registro da quantidade. Assim, o sistema egípcio é considerado um sistema de numeração decimal não posicional.

Figura 3 - Ábaco

[Image: SIstema posicional]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

O sistema decimal é o mais utilizado em todo o mundo. Ele é baseado em dez símbolos ou dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e segue o princípio posicional. Isso significa que o valor de cada dígito depende de sua posição na representação numérica. Por exemplo, no número 254, o dígito “2” representa duas centenas, o “5” representa cinco dezenas e o “4” representa quatro unidades.

Atividade prática: converta o número 4.576 em palavras, descrevendo o valor posicional de cada dígito.

Mas o que aconteceria se mudássemos a base do nosso sistema de numeração posicional?  Se em vez de usar base dez, usássemos a base dois, por exemplo?

Para uma melhor compreensão do que acontece com o registro da escrita dos números quando mudamos a base do sistema de numeração, acesse o Ábaco Multibase, um ábaco interativo desenvolvido pelo professor do campus Currais Novos do IFRN, Edson Neto, utilizando o Geogebra, clicando aqui .

O sistema binário

O sistema binário funciona tal como o nosso sistema de numeração decimal, ou seja, ele é também posicional. No entanto, é um sistema de base dois (por isso o nome binário). Assim, usamos apenas dois símbolos: 0 e 1. Apenas com estes dois símbolos podemos escrever qualquer número natural. Para isto, basta lembrar que o valor de cada ordem agora é uma potência de base dois.

[Image: sistema binário]

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Observe o valor de cada ordem em vermelho no quadro de valores acima. Note que cada ordem vale o dobro da ordem imediatamente a sua direita.

Vamos fazer uma atividade prática para entender como é fácil escrever números em binário!!

Imagine que você irá representar os números colocando bolinhas dentro das ordens no quadro de valores acima e somando os valores ao final. Mas só é permitido colocar uma única bolinha dentro e uma mesma ordem. Por exemplo:

[Image: Sistema Binário]

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O número representado no quadro de valores acima é o número \( 13\), pois é o resultado da soma das ordens \( (8+4+0+1)\) onde as bolinhas foram inseridas. Se trocarmos as bolinhas pelo número \( 1\) e colocarmos \( 0\) nas ordens vazias, formamos \( (1101)\) que é a representação do número \( 13\) em binário. Ou seja \( 13= (1101)_2\).

Note que \( 13 = 1 \cdot\ 2^3 + 1 \cdot\ 2^2 + 0 \cdot\ 2^1 + 1 \cdot\ 2^0 \)

Agora tente você! Represente cada um dos números abaixo no quadro ao lado inserindo as bolinhas corretamente. Em seguida, escreva na linha abaixo a representação do número decimal em binário. Siga o modelo do item a) abaixo:

a)      27

[Image: 27]

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b)      30

[Image: 30]

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c) 75

[Image: 75]

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d) 123

[Image: 123]

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Uma outra forma de escrever um número natural em binário é através do método das divisões sucessivas. O método consiste em realizar sucessivas divisões por 2 e considerar os restos obtidos. Observe o exemplo abaixo:

Figura 4 - 123 em binário

[Image: 123 em binário]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

A divisão continua até que o quociente seja igual a zero. Então, escrevem-se os restos das divisões desde o último até o primeiro.

Os algarismos romanos: um breve relato histórico e a lógica do sistema

Os algarismos romanos são um sistema de numeração desenvolvido na antiga Roma, amplamente utilizado em toda a Europa durante o período clássico e até a Idade Média. Esse sistema foi concebido não apenas para representar quantidades, mas também para atender às necessidades cotidianas, como a contagem de mercadorias, registro de transações e marcação de datas.

Contexto histórico

Os algarismos romanos surgiram a partir da evolução dos sistemas numéricos etruscos e gregos, sendo adaptados para as próprias exigências da sociedade romana. Essa adaptação refletia um estilo de vida prático, voltado para a administração de um vasto império. A simplicidade e a funcionalidade do sistema permitiram que ele fosse amplamente adotado em regiões conquistadas pelos romanos.

Com o advento da numeração arábica no Ocidente, durante os séculos XIII e XIV, os algarismos romanos gradualmente perderam proeminência em aplicações matemáticas e comerciais. No entanto, seu uso persistiu em contextos específicos, como na indicação de séculos, títulos, monumentos e eventos formais.

A lógica do sistema de numeração romano

O sistema de numeração romano é baseado em sete símbolos principais: I, V, X, L, C, D e M, que representam, respectivamente, os valores 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000. A estrutura do sistema combina repetições e regras de subtração para formar outros números.

1. Adição e Repetição: os símbolos podem ser repetidos até três vezes para somar seus valores. Por exemplo, III equivale a 3, e XXX representa 30.
2. Subtração: quando um símbolo menor precede um maior, seu valor é subtraído. Por exemplo, IV equivale a 4 (5 - 1) e IX equivale a 9 (10 - 1).
3. Ordem Decrescente: na formação de números, os símbolos são geralmente dispostos em ordem decrescente de valor, exceto quando se aplica a regra de subtração. Assim, XVI representa 16 (10 + 5 + 1).
4. Ausência do Zero: diferente do sistema decimal, o sistema romano não possui um símbolo para o zero. Isso reflete a influência de uma cultura que não exigia a representação de números nulos em suas aplicações cotidianas.
5. Limitações do Sistema: a ausência de um conceito de posição dificulta a representação de números muito grandes ou cálculos matemáticos complexos. Assim, o sistema era mais adequado para registros e contagens simples.

Exemplos de representação em algarismos romanos

- 3: Representado como III (1 + 1 + 1).
- 8: Representado como VIII (5 + 3).
- 14: Representado como XIV (10 + 4, aplicando a subtração: 5 - 1).
- 29: Representado como XXIX (10 + 10 + 9, com 9 = 10 - 1).
- 47: Representado como XLVII (50 - 10 + 5 + 1 + 1).
- 93: Representado como XCIII (100 - 10 + 1 + 1 + 1).
- 499: Representado como CDXCIX (500 - 100 + 100 - 10 + 10 - 1). O número não pode ser escrito como ID, pois a subtração direta de 500 - 1 não segue as regras do sistema romano, que não permitem saltos de potências de dez consecutivas na subtração.
- 2024: Representado como MMXXIV (1000 + 1000 + 10 + 10 + 4).

Os algarismos romanos não são apenas uma curiosidade histórica; eles representam uma fase importante no desenvolvimento da matemática e da administração de civilizações antigas. Seu legado é evidente em muitos aspectos da cultura moderna, destacando-se em inscrições, relojoaria e eventos cerimoniais.

Conjuntos numéricos

Como e quando surgiram os números? Por que o ser humano os inventou? Que tipos de números existem?  Estas são perguntas que, certamente, tem mais de uma resposta!! O que sabemos é que a ideia de número é mais antiga do que a própria escrita! Isso mesmo!! Antes de serem escritos ou desenhados, os números já existiam na mente dos seres primitivos. E o número só foi batizado de número muito tempo depois de existir.

Os números nascem da necessidade humana de comparar. Os humanos primitivos precisavam, por exemplo, ter controle sobre seus animais para sua própria subsistência. Assim, ao sair com suas ovelhas para o pasto, ao retornar era preciso saber se a quantidade de ovelhas com as quais saiu era a mesma ao regressar. Como saber se esta quantidade era ou não a mesma se não existia o número? Como os primitivos poderiam saber se ovelhas se perderam no pasto? Como saberiam se outras ovelhas se juntaram às suas?

Foi assim que surgiu uma grande ideia!! A ideia de comparação!! Utilizando objetos como pedras, o ser humano associou cada ovelha a uma pedrinha dentro de sua sacola. Assim, poderia ter controle sobre a quantidade de ovelhas porque tinha controle sobre as pedras, já que estas eram mais fáceis de guardar!! Para cada ovelha que saía da casa para o pasto colocava-se uma pedrinha dentro do saco. Ao regressar para casa, para cada ovelha que voltasse, retirava-se uma pedrinha do saco. Assim, se entrassem todas as ovelhas e ainda restassem pedrinhas dentro do saco, sabia-se que tinha algo errado: perderam-se ovelhas! Da mesma forma, se acabassem todas as pedrinhas do saco e ainda restassem ovelhas para entrar em casa, sabia-se que ovelhas desgarradas se juntaram às suas.

Passaram-se centenas e centenas de anos até que a ideia de colocar pedrinhas em sacos fosse substituída por riscos ou lascas em pedaços de madeira ou argila. A partir de então surge a ideia da organização escrita da quantidade, surgindo assim a escrita dos números.

Não restam dúvidas de que os números possuem duas tarefas concretas que são as mais importantes: contar e medir! Nesta seção, vamos conhecer os tipos de números que hoje usamos para realizar estas tarefas.

O conjunto dos números naturais

Este é o conjunto dos números que usamos para contar. Representamos este conjunto pelo símbolo ℕ.

Figura 5 - Conjunto dos números naturais

[Image: Números naturais]

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Fonte: Elaborada pela Diretoria de Educação à Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Algumas propriedades deste conjunto são:

- A soma de dois números naturais é sempre um número natural.
- O produto de dois números naturais é sempre um número natural.
- Todo número natural possui um sucessor, o que garante que este conjunto é infinito.
- Consideramos o zero como sendo o menor número natural, portanto o zero não é sucessor de nenhum outro número natural.

Assim: 1 é o sucessor de 0; 2 é o sucessor de 1; 3 é o sucessor de 2; e assim sucessivamente…

Sei que você já está acostumado a fazer operações com os números naturais. No entanto, praticar estas operações é uma atividade da mais extrema importância para o desenvolvimento do raciocínio lógico e do aprendizado significativo. É fundamental aprender a utilizar bem os algoritmos das 4 operações fundamentais, que são: a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão.

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O conjunto dos números inteiros

Este conjunto é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ou seja, todos os números naturais também serão inteiros. Além disto, vamos acrescentar a este conjunto os respectivos opostos de cada número natural, que serão chamados de inteiros negativos. Usamos o símbolo ℤ para representar este conjunto. Assim, podemos escrever o conjunto dos inteiros como sendo:

\(\mathbb{Z} = \lbrace{..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}\rbrace\)

Algumas propriedades deste conjunto são:

- A soma de dois números inteiros é sempre um inteiro.
- O produto de dois inteiros é sempre um inteiro.
- A diferença de dois inteiros é sempre um inteiro.
- Todo número inteiro possui um antecessor e um sucessor.

Nas operações com números inteiros, é muito importante ter atenção com os sinais.

Observe as duas expressões numéricas abaixo:

\( 4 - 5 + 6 - 3 + 9 - 7 + 3 - 9 + 6 + 3 + 1 -10\)

\( -6 - 2 - 4 + 2 + 7 - 9 + 12 - 5 + 4 - 6 - 1 + 8\)

Observe que aparecem vários sinais de “mais” e de “menos” nestas duas expressões, não é?

Antes de resolvermos estas expressões precisamos entender como fazer adição e subtração com números inteiros.

Adição e subtração com números inteiros

Os números inteiros incluem os números positivos, negativos e o zero. Trabalhar com adição e subtração de números inteiros pode parecer desafiador no início, mas com prática e compreensão dos conceitos básicos, torna-se uma tarefa simples. Vamos explorar o passo a passo dessas operações com exemplos e exercícios práticos.

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1. Regras básicas para a adição de números inteiros

- Quando os números têm o mesmo sinal:
  - Somamos os valores absolutos (os números sem o sinal) e mantemos o sinal comum.
  - Exemplo 1:
    - (+5) + (+3) = +8
    - (– 7) + (– 2) = – 9

Podemos também eliminar os parênteses escrevendo apenas:

         (+5) + (+3) = 5 + 3 = 8

         (– 7) + (– 2) = – 7 – 2 = – 9

- Quando os números têm sinais diferentes:
  - Subtraímos o menor valor absoluto do maior valor absoluto e mantemos o sinal do número com maior valor absoluto.
  - Exemplo 2:
    - (+6) + (-4) = +2 (pois 6 - 4 = 2, e o sinal é positivo porque 6 > 4)
    - (-9) + (+5) = – 4 (pois 9 - 5 = 4, e o sinal é negativo porque 9 > 5)

Podemos também eliminar os parênteses escrevendo apenas:

         (+6) + (– 4) = 6 – 4 = 2

         (– 9) + (+5) = – 9 + 5 = – 4

2. Regras básicas para a subtração de números inteiros

A subtração pode ser transformada em uma adição. Para isso, trocamos o sinal do segundo número e seguimos as regras da adição:

- A “Regra de Ouro”: Subtrair um número é o mesmo que somar o oposto dele.
  - Exemplo 1:
    - (+7) - (+3) = (+7) + (-3) = +4
    - (-8) - (-5) = (-8) + (+5) = -3

3. Representação gráfica na reta numérica

Uma forma útil de entender adições e subtrações é usar uma reta numérica. Considere o exemplo abaixo:

- Comece no zero.
- Para somar um número positivo, mova-se para a direita na reta.
- Para somar um número negativo, mova-se para a esquerda.

Exemplo 1 na reta numérica:

- Cálculo: (+3) + (-5)
  - Comece no 0, mova-se 3 unidades para a direita (+3).
  - Depois, mova-se 5 unidades para a esquerda (-5).
  - Resultado: -2.

Exemplo 2 na reta numérica:

- Cálculo: (-4) - (-6)
  - Transforme em uma adição: (-4) + (+6).
  - Comece no 0, mova-se 4 unidades para a esquerda (-4).
  - Depois, mova-se 6 unidades para a direita (+6).
  - Resultado: +2.

4. Exemplos práticos de adição e subtração

1. Temperaturas:
  - A temperatura em uma cidade era de -2º C e subiu 5º C. Qual a nova temperatura?
    - Cálculo: (-2) + (+5) = +3º C.
2. Finanças:
  - Você tinha uma dívida de R$ 20 e pagou R$ 15. Qual é o saldo restante da sua dívida?
    - Cálculo: (-20) + (+15) = -5 (você ainda deve R$ 5).
3. Jogos:
  - Um jogador perdeu 8 pontos em uma rodada e ganhou 12 na seguinte. Qual é o saldo de pontos?
    - Cálculo: (-8) + (+12) = +4 (o saldo é de 4 pontos)

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5. Exercícios para Fixação

1. Resolva as seguintes operações e indique o resultado:
  - (+7) + (-3)
  - (-5) + (-9)
  - (-6) - (+4)
  - (+10) - (-2)

1. Represente na reta numérica os seguintes cálculos:
  - (+3) + (-7)
  - (-2) - (+5)

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6. Resumo das regras

- Adicionar números com o mesmo sinal: some os valores absolutos e mantenha o sinal.
- Adicionar números com sinais diferentes: subtraia os valores absolutos e use o sinal do maior.
- Subtração: transforme em adição do oposto e siga as regras da adição.

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Multiplicação e divisão com números inteiros

Agora que já compreendemos as operações de adição e subtração, vamos explorar a multiplicação e a divisão de números inteiros. Essas operações seguem regras específicas, que, uma vez compreendidas, tornam os cálculos mais diretos e organizados.

Multiplicação de números inteiros

A multiplicação de números inteiros segue as seguintes regras:

- Regra dos sinais:
  - O produto de dois números com sinais iguais é positivo.
  - O produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Exemplos:

- (+4) × (+3) = +12
- (-5) × (-2) = +10
- (-7) × (+6) = -42
- (+8) × (-3) = -24
- Dica: Multiplicamos os valores absolutos dos números (ignorando os sinais) e aplicamos a regra dos sinais no final.

Exemplo prático: Um trabalhador recebe R$ 50 por dia de trabalho. Se ele trabalhar 7 dias, quanto ele ganhará no total?

- Cálculo: (+50) × (+7) = +350.

Agora, se ele tiver uma multa de R$ 20 por dia de atraso e atrasar 3 dias, qual será o total devido?

- Cálculo: (-20) × (+3) = -60 (ele deve R$ 60).

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Divisão de números inteiros

A divisão de números inteiros segue as mesmas regras de sinais da multiplicação:

- Regra dos sinais:
  - A divisão de dois números com sinais iguais resulta em um quociente positivo.
  - A divisão de dois números com sinais diferentes resulta em um quociente negativo.

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Professora Magá

Oi, professora Magá! Tudo certo? Tô aqui quebrando a cabeça com esses números inteiros… Essa parada da regra de sinais me confunde. Tipo, por que quando eu subtraio um número negativo, ele vira positivo? Não faz sentido! Me ajuda?

Claro, bora resolver! Imagine que você tá me devendo 10 reais, Aí eu sou legal e digo: ‘Esquece essa dívida, não precisa pagar mais não!’ O que aconteceu? Você deixou de dever, né? Foi como se você ganhasse 10 reais! Agora, vamos supor que eu disse: ‘Não precisa me pagar os 10, pague só 5.’ O que aconteceu? Você ainda tá devendo, mas a dívida diminuiu, Foi como se você tivesse somado +5 ao seu saldo.
Na matemática é igual. A gente só vai usar os sinais pra traduzir a história toda. Se você tem -10 - (-5), isso vira -10 + 5, que dá -5. Ou seja, você ainda estaria me devendo 5 reais, mesmo que eu não te cobrasse.
Então é assim, quando temos sinais iguais, somamos os valores e mantemos o sinal. Quando temos sinais diferentes, subtraímos os valores, e mantemos o sinal do número com maior valor absoluto. Pegou a ideia?

Peguei sim, professora! Agora vou treinar pra ver se desenrolo, Obrigado!

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Exemplos:

- (+12) ÷ (+3) = +4
- (-15) ÷ (-5) = +3
- (-24) ÷ (+6) = -4
- (+36) ÷ (-9) = -4
- Dica: Dividimos os valores absolutos dos números (ignorando os sinais) e aplicamos a regra dos sinais no final.

Resumo das regras

- Multiplicação e divisão com sinais iguais: o resultado é positivo.
- Multiplicação e divisão com sinais diferentes: o resultado é negativo.
- Trabalhe com os valores absolutos e aplique as regras dos sinais ao final.

O conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais, que é representado pelo símbolo ℚ, é o conjunto dos números que usamos não só para contar, mas também para medir e comparar grandezas. Este é o conjunto de todas as frações. Isto significa que é o conjunto que representa todas as divisões possíveis entre dois números inteiros. Assim, definimos este conjunto como sendo o conjunto que contém todos os números da forma  \( \frac{m}{n} \)  , onde \( {m} \) e \( {n} \) são números inteiros com diferente de zero. Em notação de conjuntos, definimos:

\( \mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} /\, m \in \mathbb{Z};\ n \in \mathbb{Z}, \ n \ne 0 \right\} \)

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São exemplos de números racionais:

 \( \frac{2}{5} \quad \frac{3}{4} \quad\) \( - \frac{3}{2} \quad\) \( \frac{4}{7} \quad\) \( -\frac{1}{6} \quad\) \( \frac{6}{2} \quad\) \( -\frac{12}{3} \quad\) \( \frac{0}{12} \quad\) \( \frac{12}{4} \quad\) \( 5 \quad\) \( -1 \)

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Note que todos os números inteiros podem ser escritos na forma de fração conforme a definição, já que qualquer inteiro \( {m} \) é o mesmo que \( \frac{m}{1} \) . Logo, todo número inteiro é racional.

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Frações equivalentes

Frações equivalentes são aquelas que representam a mesma parte de um inteiro. Em outras palavras, são frações que representam o mesmo número.

Por exemplo:

·         \( \frac{1}{2} \) e \( \frac{2}{4} \)  são frações equivalentes, pois representam a metade de um inteiro. Ou seja, ambas são iguais ao número \( {0,5} \). (Efetue as divisões e comprove!)

·         As frações \( \frac{6}{2} \)  e \( \frac{12}{4} \)  são equivalentes, pois representam o mesmo número, que é \( {3} \).

Isto significa que, para sabermos se duas frações são equivalentes, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador e verificar se o resultado é o mesmo. Mas, nem sempre esta é a melhor opção, visto que existem algumas divisões que podem ser um pouco mais trabalhosas, como no caso das dízimas periódicas.

Que bom que podemos verificar a equivalência entre frações de uma outra forma! Basta colocar uma ao lado a outra e fazer a “multiplicação cruzada” como no exemplo abaixo:

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\[
\frac{6}{2} \textcolor{red}{X}  \frac{12}{4}  \qquad 4 \cdot 6 = 2 \cdot 12
\]

\[
\frac{3}{5} \textcolor{red}{X} \frac{21}{35} \qquad 35 \cdot 3 = 5 \cdot 21
\]

Quando o resultado na "multiplaicação cruzada" é o mesmo, as frações são equivalentes!!

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Propriedade das frações equivalentes: Quando multiplicamos (ou dividimos) tanto o numerador quanto o denominador de uma fração por um mesmo número, sempre obtemos uma fração equivalente a ela.

Escrevendo uma fração na sua forma decimal

Para escrever uma fração na sua forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Esse processo pode resultar em dois tipos de números decimais: decimais exatos, que possuem um número finito de casas decimais, e dízimas periódicas, em que os números decimais se repetem infinitamente em um padrão.

Para um entendimento ainda mais aprofundado sobre o conceito de dizimas, confira o vídeo de solução disponível na seção abaixo.

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Exemplos:

1/2 na forma decimal é 0,5, já que 1÷2=0,5

-3/4 na forma decimal é -0,75, já que -(3÷4)=-0,75

4/3 na forma decimal é 1,3 ̅ (ou 1,333…), já que 4÷3=1,333…

2/7 na forma decimal é 0,(285714) ̅ (ou 0,285714285714…), já que 2÷7=0,285714…

As duas primeiras frações são números decimais exatos. As duas últimas são dízimas periódicas.

Note que, nas dízimas periódicas, sempre existirá um número ou um bloco de números que irá se repetir infinitamente. Isto é o que chamamos de período. Portanto, uma forma mais fácil de indicar o período da dízima periódica é colocar uma barra horizontal acima dele. Por exemplo:

Na dízima 0,3(12) ̅, vemos que o período é 12. Poderíamos escrever como 0,3121212…

Na dízima 1,(625) ̅, vemos que o período é 625. Poderíamos escrever como 1,625625625…

Perceba como a representação com a barra horizontal acima do período facilita a leitura da dízima e a própria identificação do número ou bloco que representa o período.

Escrevendo um decimal em forma de fração

Transformar um número decimal (exato ou dízima periódica) em uma fração é um processo simples, mas requer atenção para identificar se o número é um decimal exato ou uma dízima periódica. Cada caso tem uma abordagem específica que veremos a seguir.

Decimal exato

Vamos analisar com um exemplo:

Exemplo: Escrever o número 0,75 na forma fracionária.

Basta olharmos para o número decimal como o numerador de uma fração com denominador 1 como abaixo:

\( \frac{0,75}{1} \)

Assim, aplicamos a propriedade das frações equivalentes, multiplicando numerador e denominador por 10 quantas vezes forem necessárias até que o numerador se torne um número inteiro.

\( \frac{0,75}{1} = \frac{7,5^{10}}{10^{10}} \frac{75^{10}}{100^{10}} \)

Escreva na forma de fração os decimais abaixo:

2,3 =                                  – 1,032 =

21,28 =                              0,20 =

0,02 =                                0,001 =

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Dízima periódica

Uma dízima periódica pode ser classificada em simples ou composta.

A dízima periódica simples ocorre quando o período aparece logo após a vírgula.

São exemplos:

\( 2,\overline{4} \rightarrow \)  à note que logo após a vírgula aparece o período, que é 4.

\( 0,\overline{31} \rightarrow \)  à note que logo após a vírgula aparece o período, que é 31.

\( -1,\overline{032} \rightarrow \)   à note que logo após a vírgula aparece o período, que é 032.

A dízima periódica composta ocorre quando, após a vírgula, aparece pelo menos um algarismo que não faz parte do período e só depois o período aparece.

São exemplos:

\( -1,\overline{45} \rightarrow \)  à note que após a vírgula aparece o número 4 e só depois vem o período, que é 5.

\( 0,\overline{302} \rightarrow \)   à note que após a vírgula aparece o número 3 e só depois vem o período, que é 02.

\( 1,32\overline{14} \rightarrow \)  à note que após a vírgula aparecem 3 e 2. Só depois vem o período, que é 14.

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Na seção seguinte, vamos estudar as operações com frações.

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Operações com números racionais

Imagine que o seu João precisa pintar uma parede retangular como na figura abaixo:

Figura 6 - Parede retangular

[Image: Parede divida em partes]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Durante o período da manhã ele pintou de azul \( \frac{2}{8} \) da parede. Já no período da tarde ele pintou de amarelo mais \( \frac{3}{8} \) da parede.

Que fração da parede já foi pintada pelo seu João? Que fração da parede ainda falta ser pintada?

Observe que para calcular a fração da parede que já foi pintada, basta fazer \( \frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8} \)

Mas é óbvio este resultado! Basta olharmos para a figura para percebermos que, das 8 partes, há 5 pintadas no total.

Também podemos ver claramente que a fração que falta ser pintada corresponde a \( \frac{3}{8} \) da parede.

Assim, vemos que para somar ou subtrair frações com o mesmo denominador, basta realizar a operação com os numeradores e repetir o denominador.

Exemplos:

         \( \frac{1}{7} + \frac{3}{7} = \frac{4}{7} \)

Quando as frações têm denominadores diferentes, o processo requer encontrar um denominador comum antes de somar ou subtrair. O denominador comum é normalmente o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores.

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Redução ao mesmo denominador pelo MMC

1. Adição de frações usando o MMC

Exemplo:

\( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \)

Passo 1: Encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 4 e 6:

- Os múltiplos de 4 são 4, 8, 12, 16, ...

- Os múltiplos de 6 são 6, 12, 18, 24, ...

- O menor múltiplo comum é 12.

Passo 2: Ajuste ambas as frações para o denominador 12:

- Para \( \frac{3}{4} \), multiplique numerador e denominador por 3:

  \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)

- Para \( \frac{5}{6} \), multiplique numerador e denominador por 2:

  \( \frac{5}{6} = \frac{10}{12} \)

Passo 3: Some as frações que agora tem o mesmo denominador

  \( \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12} \)

Logo, \(  \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{19}{12} \)

2. Subtração de frações usando o MMC

Exemplo:

 \( \frac{7}{15} - \frac{2}{9} \)

Passo 1: Encontre o MMC dos denominadores 15 e 9:

- Os múltiplos de 15 são 15, 30, 45, ...

- Os múltiplos de 9 são 9, 18, 27, 36, 45, ...

- O menor múltiplo comum é 45.

Passo 2: Ajuste ambas as frações para o denominador 45:

- Para \( \frac{2}{15} \), multiplique numerador e denominador por 3:

  \( \frac{7}{15} = \frac{21}{45} \)

- Para \( \frac{2}{9} \), multiplique numerador e denominador por 5:

  \( \frac{2}{9} = \frac{10}{45} \)

Passo 3: Subtraia os numeradores:

  \( \frac{21}{45} - \frac{10}{45} = \frac{11}{45} \)

Logo, \( \frac{7}{15} - \frac{2}{9} = \frac{11}{45} \)

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Método direto para adição e subtração de frações:

1. Adição de frações pelo método direto

Exemplo:

 \( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \)

Passo 1: Multiplique os denominadores para encontrar o novo denominador:

\( \frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{?}{4  \cdot 6}\)

Passo 2: Use o “produto cruzado” e efetue a soma para calcular o numerador:

\(
\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{4 \cdot 6}
\)

Ainda é possível simplificar a fração, dividindo numerador e denominador por 2, caso necessário:

\( \frac{38}{24} = \frac{19}{12} \)

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2. Subtração de frações pelo método direto

A subtração também pode ser feita de forma análoga a adição.

Exemplo:

  \( \frac{7}{15} - \frac{2}{9}\)

Passo 1: Multiplique os denominadores para encontrar o novo denominador:

 \( \frac{7}{15} - \frac{2}{9} = \frac{}{15  \cdot 9} \)

 Passo 2: Use o “produto cruzado” para calcular os numeradores:

 \( \frac{7}{15} - \frac{2}{9} = \frac{9 \cdot 7 - 15  \cdot 2}{135} = \frac{33}{135} \)

Ainda é possível simplificar a fração, dividindo numerador e denominador por 3, caso necessário:

 \( \frac{33}{135} = \frac{11}{45} \)

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Comparação dos métodos

- Método do MMC: É sistemático e facilita a simplificação, especialmente quando trabalhamos com múltiplos denominadores.

- Método Direto: Pode ser mais rápido em cálculos simples, mas frequentemente requer simplificação no final.

Ambos os métodos levam ao mesmo resultado, sendo a escolha uma questão de preferência ou contexto. Praticar os dois é útil para dominar o cálculo com frações!

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Multiplicação e divisão de frações

As operações de multiplicação de divisão de frações são bem mais simples que as de adição e subtração, pois não requerem redução ao mesmo denominador.

Multiplicação:

Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplo:

\( \frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{20} \)  que simplificando fica \( \frac{9}{10} \)

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Divisão:

Toda divisão de frações pode ser transformada em uma multiplicação.

Para dividir uma fração por outra, basta repetir a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exemplo:

\( \frac{4}{6} \div \frac{5}{2} = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{20}\)  que simplificando fica \( \frac{4}{15} \)

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Conjunto dos números reais

Por fim, chegamos ao maior dos conjuntos com os quais iremos trabalhar. O conjunto dos números reais!! Todos os números que vimos até aqui (naturais, inteiros e racionais) também são, a partir de agora, números reais.

Figura 7 - Conjunto dos números reais

[Image: Conjunto dos números reais]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Figura 8 - Conjuntos numéricos

[Image: Legenda conjunto dos números reais]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

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Expressões algébricas

As expressões algébricas estão presentes em nosso cotidiano e por vezes fazemos uso delas sem perceber, de forma intuitiva.

Um grupo de amigos vai a uma pizzaria e ao final do jantar combinam que cada um irá pagar seu próprio consumo, daí Rodrigo lembra que consumiu 3 fatias simples, 2 fatias especiais e um copo de suco, podemos associar a essa situação uma expressão algébrica do tipo \( 3\mathbf{x} + 2\mathbf{y} + 1\mathbf{z} \) onde \( \mathbf{x} \) representa o preço da fatia simples, \( \mathbf{y} \) o preço da fatia especial e \( \mathbf{z} \) o preço do copo de suco.

Figura 9 - Pagando a conta da pizzaria

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Fonte: gerada por inteligência artificial com ChatGPT (OpenAI), 2025.

Expressões algébricas são aquelas que contém números, letras e operações (adição, subtração, multiplicação ou divisão). As letras também são chamadas de variáveis e podem ser substituídas por um valor numérico, no caso da conta a ser paga na pizzaria, as letras serão substituídas pelos respectivos preços.

Vejamos alguns exemplos de expressões e a quantidade de termos algébricos de cada uma delas.

1. \( 5\mathbf{ab}^3 - 2\mathbf{xy}  \rightarrow \) possui dois termos algébricos.
2. \( \mathbf{x}^3 + 6\mathbf{x} - 5 \rightarrow \) possui três termos algébricos.
3. \( 10\mathbf{x}^4\mathbf{yz}^2 \rightarrow \) possui apenas um termo algébrico.

As expressões algébricas são nomeadas conforme a quantidade de termos que possuem.

Monômio

É uma expressão que possui apenas um termo algébrico, que é composto por duas partes: a parte literal, que são as letras com seus respectivos expoentes, e o coeficiente, que é o número que multiplica ou divide a parte literal.

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Grau de um monômio

É a soma dos expoentes de cada elemento da parte literal.

Vejamos os exemplos:

1. \( 6\mathbf{a}^5\mathbf{b}^3 \) possui grau \( 8 \), pois somando seus expoentes \( 5+3=8 \).
2. \( 3\mathbf{x}^2\mathbf{yz}^4 \) possui grau \( 7 \), pois somando seus expoentes \( 2+1+4=7 \).

Figura 10 - Conversa sobre expoente

[Image: Tirinha monômios]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Destacamos no quadro a seguir o coeficiente, a parte literal e o grau de alguns monômios.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Monômio

Coeficiente

Parte Literal

Grau

\( 3\mathbf{ab}^5 \)

\( 3 \)

\( \mathbf{ab}^5 \)

\( 1+5=6 \)

\( -4\mathbf{x}^3 \)

\( -4 \)

\( \mathbf{x}^3 \)

\( \mathbf{xy}^2\mathbf{z} \)

\( 1 \)

\( 1+2+1=4 \)

\( \frac{5\mathbf{x}^2}{3} \)

\( \frac{5}{3} \)

\( \mathbf{x}^2 \)

\( 2 \)

\( -\frac{\mathbf{x}^4\mathbf{y}}{2} \)

\( -\frac{1}{2} \)

\( \mathbf{x}^4\mathbf{y} \)

\( 4+1=5 \)

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Monômios semelhantes

São monômios que possuem a mesma parte literal, ou seja, devem possuir as mesmas letras, mas cada uma delas com os mesmos expoentes. Vejamos os exemplos.

1. \( -5\mathbf{xz}^4 \) e \( 3\mathbf{xz}^4 \) são semelhantes.
2. \( 4\mathbf{a}^2\mathbf{b} \) e \( 2\mathbf{ab}^3 \) não são semelhantes, apesar de possuírem as mesmas letras, mas os expoentes são diferentes.
3. \( 9\mathbf{xy} \) e \( 9\mathbf{xz} \) não são semelhantes.

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Polinômio

É uma expressão algébrica formada a partir da soma ou subtração de monômios. Exemplos:

1. \( 7\mathbf{ab}^2 + 3\mathbf{ab} - 2\mathbf{a}^2\mathbf{b}^3 \)
2. \( 5\mathbf{xy} + 6\mathbf{y} - 3\mathbf{x}^2 + 10 \)
3. \( 8\mathbf{a} - 1 \)
4. \( \mathbf{b}^2 - 4\mathbf{ac} \)

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Grau de um polinômio

É definido pelo maior grau dos monômios que formam o polinômio.

Por exemplo, o polinômio \( 7\mathbf{ab}^2 + 3\mathbf{ab} - 2\mathbf{a}^2\mathbf{b}^3 \) é composto por três monômios, o primeiro \( 7\mathbf{ab}^2 \) possui grau \(3 \), o segundo \( 3\mathbf{ab} \) possui grau \( 2 \) e o terceiro \( -2\mathbf{a}^2\mathbf{b}^3 \) possui grau \( 5 \), então devemos dizer que o grau desse polinômio é \( 5 \), pois representa o maior grau de todos os monômios que formam esse polinômio.

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Expressões algébricas no cotidiano

Figura 11 - Promoção de carro

[Image: Faixa anunciando uma grande promoção. Embaixo três carros de modelos diferentes e uma placa ao lado dizendo "Alugue por R$ 40,00 a diária! E apenas R$ 0,50 a mais por quilômetro rodado!"]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Uma locadora de carros resolveu fazer uma promoção de carnaval e ofereceu veículos cobrando uma taxa de R$ 40,00 reais a diária mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Nesse caso, o preço final do aluguel depende de duas variáveis: os dias que o carro ficou alugado e os quilômetros rodados com o automóvel, para isso podemos utilizar a seguinte expressão algébrica:

P=40d+0,50k

Onde: P→ preço final do aluguel.

           d→ dias que o automóvel ficou alugado.

           k→ quilômetros rodados no período.

Daí podemos utilizar nossa expressão para calcular quanto pagará um cliente que alugar um carro para o carnaval, de sábado a terça-feira, e rodar um total de 650 km nesse período.

P=40∙4+0,50∙650

P=160+325

P=485

Figura 12 - Banner de aluguel de carros

[Image: Anuncio locadora]

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Fonte: http://www.rentcars.com

Valor numérico de uma expressão algébrica

Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuamos as operações matemáticas, obtemos o valor numérico dessa expressão.

Figura 13 - Conversa sobre aluguel

[Image: Conversa aluguel de carro]

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Fonte: gerada por inteligência artificial com ChatGPT (OpenAI), 2025.

Vejamos outro exemplo:

Altura de uma porta retangular é o triplo de sua largura. Vamos escrever as expressões algébricas que representam a área e o perímetro dessa porta.

Figura 14 - Porta retangular

[Image: Porta com a altura 3x e comprimento x]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Observando a figura acima percebemos que a largura da porta está representada pela variável \( \mathbf{x} \) e como a altura é o triplo da largura, então sua representação será \( 3\mathbf{x} \).

A área de um retângulo pode ser calculada através do produto da base pela sua altura e o perímetro de um polígono é a soma de todos os seus lados, logo teremos:

Figura 15 - Porta retangular

[Image: Porta com a altura 3x e comprimento x]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área (A) = Base x Altura

\( \mathbf{A} = \mathbf{x} \cdot 3\mathbf{x} \) Lembrando que: \( \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}^2 \)

\( \mathbf{A} = 3\mathbf{x}^2 \)

Figura 16 - Porta retangular

[Image: Porta com a altura 3x e comprimento x]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Perímetro (P) = Soma dos lados

\( \mathbf{P} = \mathbf{x} + 3\mathbf{x} + \mathbf{x} + 3\mathbf{x} \)

\( \mathbf{P} = 8\mathbf{x} \)

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É muito importante sabermos interpretar os problemas matemáticos, fazendo a transformação de uma frase na língua Portuguesa para sua representação Matemática, lembre-se que sempre que você não conhecer o valor de um número devemos representá-lo por uma letra, ou seja, será nossa variável. Vejamos alguns exemplos:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Língua Portuguesa

Expressão Matemática

O dobro de um número

\( 2 \mathbf{x} \)

o triplo de um número mais dez

\( 3\mathbf{x} + 10 \)

a soma de um número com sua metade

\( \mathbf{x} + \frac{x}{2} \)

a diferença entre um número e sua terça parte

\( \mathbf{x} - \frac{x}{3} \)

a razão entre dois números

\( \frac{x}{y} \)

a razão entre um número e seu sucessor

\( \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}+1} \)

o antecessor de um número

\( \mathbf{x}-1 \)

o quadrado de um número mais seu quíntuplo

\( \mathbf{x}^2 + 5\mathbf{x} \)

Atividade 1 Unidade 1

Q: Fonte: https://app.estuda.com/questoes/?id=11015702

(IFRN 2019) Para ajudar os imigrantes em campos de refugiados, um site oferece a possibilidade de doação para três entidades humanitárias diferentes. Em qualquer uma das três entidades, a doação é composta por um valor fixo mais um valor que será descontado, por dia, no cartão de crédito do doador, conforme mostra a Figura 2. Se uma pessoa pretende gastar R$ 200,00 em doação, ao longo de mais de três meses, ela deve escolher a entidade humanitária
- I ou II
- II ou III
- Somente II (correct)
- Somente III

Sem título Multiple Choice

Q: (IFRN 2020) Um casal resolveu levar a filha, vítima de cyberbullying, para passar 𝒙 dias em um hotel fazenda sem acesso à Internet. O custo total da viagem de 𝒚 reais corresponde a um valor fixo de R$150,00 para os gastos com combustível, mais R$ 390,00 a diária do quarto triplo com direito a todas as refeições. Em função de 𝒙 dias de hospedagem, a equação que representa o custo total de 𝒚 reais da viagem é
- y = 390x + 300
- y = 150x + 390
- y = 150x + 300
- y = 390x + 150 (correct)

Sem título Multiple Choice

Q: (IFRN 2013) De um total de X homens e Y mulheres, 150 dizem não ter nenhum tipo de preconceito. Desses, três quintos são mulheres. A expressão que representa o produto de homens e mulheres que declararam ter algum tipo de preconceito é dada por
- \( (\mathbf{x} + 60)(\mathbf{y} + 90) \)
- \( (\mathbf{x} - 90)(\mathbf{y} - 60) \) (correct)
- \( (\mathbf{x} + 90)(\mathbf{y} + 60) \)
- \( (\mathbf{x} - 60)(\mathbf{y} - 90) \)

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Para um entendimento ainda mais aprofundado sobre esse conceito, confira o vídeo de solução disponível na seção abaixo.

Sem título Astro Video Link

Sem audiodescrição

Com audiodescrição

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Operações com monômios e polinômios, produtos notáveis, fatoração e simplificação de expressões algébricas

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Operações com monômios

Adição e Subtração

Só podemos somar ou subtrair monômios semelhantes, ou seja, monômios com a mesma parte literal. E para isso, devemos somar ou subtrair os coeficientes numéricos conservando a parte literal. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( 2\mathbf{x}^3\mathbf{y} + 5\mathbf{x}^3\mathbf{y} = 7\mathbf{x}^3\mathbf{y} \)

b) \( 4\mathbf{ab} + 6\mathbf{ab}^2 - 7\mathbf{ab} + 2\mathbf{ab}^2 = (4\mathbf{ab} - 7\mathbf{ab})+ (6\mathbf{ab}^2 + 2\mathbf{ab}^2) = -3\mathbf{ab} + 8\mathbf{ab}^2 \)

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Multiplicação

A multiplicação ou produto de dois ou mais monômios é obtido através da multiplicação dos seus coeficientes numéricos e na parte literal devemos utilizar a propriedade da multiplicação de potências de mesma base, na qual repete-se a base e soma-se os expoentes. Vejamos alguns exemplos:

a) \( (-5 \mathbf{x} \mathbf{y}^2) \cdot (6 \mathbf{x}^3 \mathbf{y}^5) = [(-5) \cdot 6] \cdot \mathbf{x}^{1+3} \cdot \mathbf{y}^{2+5} = -30 \mathbf{x}^{4} \mathbf{y}^{7} \)

b) \( (2 \mathbf{a}^{2} \mathbf{b} \mathbf{c}^{3}) \cdot (- 3 \mathbf{a}^{4} \mathbf{c}^{2}) \cdot (- 4 \mathbf{a} \mathbf{b}^{2}) \)

\( = [2 \cdot (-3) \cdot (-4)] \cdot (\mathbf{a}^{2} \cdot \mathbf{a}^{4} \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}^ \cdot \mathbf{b} ^2 \cdot \mathbf{c}^3 \cdot \mathbf{c}^2) \)

\( = 24 \mathbf{a}^{7} \mathbf{b}^{3} \mathbf{c}^{5} \)

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Divisão

A divisão ou quociente de dois monômios é obtido através da divisão dos seus coeficientes numéricos e na parte literal devemos utilizar a propriedade da divisão de potências de mesma base, na qual repete-se a base e subtrai os expoentes. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( \frac{32\mathbf{x}^5\mathbf{y}^10\mathbf{z}}{8\mathbf{x}^2\mathbf{y}^3} = (\frac{32}{8}) \cdot \mathbf{x}^{5-2} \cdot \mathbf{y}^{10-3} \cdot \mathbf{z} = 4\mathbf{x}^3\mathbf{y}^7\mathbf{z} \)

   b) \( \frac{-18\mathbf{a}^2\mathbf{b}^5\mathbf{c}}{3\mathbf{a}^7\mathbf{bc}^4} = -\frac{6\mathbf{b}^4}{\mathbf{a}^5\mathbf{c}^3} \)

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Potenciação

Na potenciação elevamos o coeficiente numérico a potência indicada e na parte literal devemos utilizar a propriedade da potência de potência, na qual repete-se a base e multiplica-se os expoentes. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( (-5\mathbf{xy}^2)^3 = (-5)^3 \cdot \mathbf{x}^{1 \cdot 3} \cdot \mathbf{y}^{2 \cdot 3}= - 125\mathbf{x}^3\mathbf{y}^6\)

   b) \( (-2\mathbf{a}^3\mathbf{bc}^5)^4 = (-2)^4 \cdot \mathbf{a}^{3 \cdot 4} \cdot \mathbf{b}^{1 \cdot 4} \cdot \mathbf{c}^{5 \cdot 4} = 16\mathbf{a}^{12}\mathbf{b}^4\mathbf{c}^{20} \)

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Operações com polinômios

As operações com polinômios obedecem às mesmas regras seguidas nas operações com monômios.

Adição e subtração

Nos polinômios sempre somamos ou subtraímos os termos semelhantes. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( (5\mathbf{x}^3 - 2\mathbf{x}^2 + 3) + (4\mathbf{x}^3 + 6\mathbf{x}^2 - \mathbf{x} - 1) \)
\( 5\mathbf{x}^3 + 4\mathbf{x}^3 - 2\mathbf{x}^2 + 6\mathbf{x}^2 - \mathbf{x} + 3 - 1 \)
\( 9\mathbf{x}^3 + 4\mathbf{x}^2 - \mathbf{x} + 2 \)

b) \( (9\mathbf{a}^3 + 5\mathbf{a}^2 - 6\mathbf{a} - 2) - (3\mathbf{a}^3 - 8\mathbf{a}^2 + 2\mathbf{a} - 10) \)
\( 9\mathbf{a}^3 + 5\mathbf{a}^2 - 6\mathbf{a} - 2 - 3\mathbf{a}^3 + 8\mathbf{a}^2 - 2\mathbf{a} + 10 \)
\( 9\mathbf{a}^3 - 3\mathbf{a}^3 + 5\mathbf{a}^2 + 8\mathbf{a}^2 - 6\mathbf{a} - 2\mathbf{a} - 2 - + 10 \)
\( 6\mathbf{a}^3 + 13\mathbf{a}^2 - 8\mathbf{a} + 8 \)

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Multiplicação

Na multiplicação de polinômios devemos utilizar a propriedade distributiva. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( 3\mathbf{x}^2 \cdot (4\mathbf{x} + 5) = (3\mathbf{x}) \cdot (4\mathbf{x}) + (3\mathbf{x}^2) \cdot (5) \)

      \( 3\mathbf{x}^2 \cdot (4\mathbf{x} + 5) = 12\mathbf{x}^3 + 15\mathbf{x}^2 \)

   b) \( (2\mathbf{x}^3 - 3) \cdot (4\mathbf{x}^2 + 5\mathbf{x}) \)

       \( = (2\mathbf{x}^3) \cdot (4\mathbf{x}^2) + (2\mathbf{x}^3) + \cdot (5\mathbf{x}) - (3) \cdot (4\mathbf{x}^2) - (3) \cdot (5\mathbf{x}) \)

      \( (2\mathbf{x}^3 - 3) \cdot (4\mathbf{x}^2 + 5\mathbf{x}) = 8\mathbf{x}^5 + 10\mathbf{x}^4 - 12\mathbf{x}^2 - 15\mathbf{x} \)

Produtos notáveis e fatoração

Produtos notáveis são alguns tipos de multiplicações entre polinômios que costumam aparecer com maior frequência em determinados cálculos matemáticos, e possuem regras específicas para resolvê-los com maior agilidade.

Fatoração é o processo matemático que consiste em representar um número ou uma expressão algébrica em forma de um produto.

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Podemos entender que o produto notável e a fatoração são operações contrárias, é como se fosse a ida e a volta numa multiplicação.

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Propriedade distributiva e fator comum em evidência

Vamos utilizar a geometria para exemplificar esse caso.

A princípio de temos um retângulo de dimensões a e b.

Figura 17 - Retângulo a e b

[Image: Retângulo com lados a e b]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Sua área é calculada pelo produto de suas dimensões.

\( \mathbf{A} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \)

Em seguida foi acrescentado um novo retângulo adjacente ao primeiro, conforme ilustração abaixo:

Figura 18 - Novo retângulo adicionado

[Image: retângulo com adição de área]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Agora a área total será a soma das áreas dos dois retângulos.

\( \mathbf{A} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \)

\( \mathbf{A} = \mathbf{ab} + \mathbf{ac} \)

Podemos calcular como sendo um único retângulo de base a e altura b+c, logo:

\( \mathbf{A} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \)

Encontramos duas expressões algébricas que servem para calcular a mesma área, daí podemos concluir que:

\( \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{ab} + \mathbf{ac} \)

Note que essa igualdade é exatamente a propriedade distributiva, pois temos o produto de dois termos \( (\mathbf{a} \ e \  \mathbf{b}+\mathbf{c}) \) e após a multiplicação obtemos a soma de dois monômios \( \mathbf{ab} \) e \( \mathbf{ac} \), perceba que cada monômio tem um termo que se repete \( \mathbf{a} \), que pode ser colocado em evidência.

\( \mathbf{ab} + \mathbf{ac} = \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \)

ab e ac = Fator comun

a \( \cdot \) = Fator comun em evidência

Vejamos alguns exemplos:

   a) \( 10\mathbf{a} + 6\mathbf{b} = 2 \cdot (5\mathbf{a} + 3\mathbf{b}) \)

Aparentemente o Binômio \( 10a + 6b \) não possui nenhum fator comum, mas perceba que podemos fatorar o número \( 10 \) e o número \( 6 \), então nossa expressão ficaria escrita da seguinte maneira: \( 2 \cdot 5 \cdot a + 2 \cdot 3 \cdot b \), agora notamos que ambos os termos possuem o número \( 2 \) como fator comum. Na realidade, o número \( 2 \) é máximo divisor comum (MDC) entre \( 10 \) e \( 6 \), logo é o fator comum colocado em evidência e todos os termos serão divididos por ele.

   b) \( 12x^3y^4z - 18x^5y^6z^3 + 24x^7y^2 = 6x^3y^2 \cdot (2y^2z - 3x^2y^4z^3 + 4x^4) \)

Para descobrir o fator comum, encontra-se o MDC entre 12, 18 e 24, em seguida observa-se as partes literais, com menor grau, que se repetem. Então todos os termos serão divididos pelo fator comum, que é 6x3y2, conforme mostramos a seguir de maneira detalhada.

\( \frac{12x^3y^4z}{6x^3y^2} - \frac{18x^5y^6z^3}{6x^3y^2} + \frac{24x^7y^2}{6x^3y^2} \)

\( 2y^2z - 3x^2y^4z^3 + 4x^4 \)

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Fatoração por agrupamento

Poderíamos dizer que é um caso específico de fator comum em evidência, pois não temos um fator comum a todos os termos, mas se formamos grupos, teremos condições de identificar fatores comuns dentro dos grupos. Vejamos um exemplo:

\( ax + ay+ bx+ by \)

Observe que os quatro termos não possuem fator comum, mas, perceba que os dois primeiros termos possuem, bem como os dois últimos, vejamos isso.

\(  ax+ay+bx+by \)

\( a(x+y)+b(x+y) \)

Agora temos apenas dois termos na expressão e ambos possuem um termo em comum que poderá ser colocado em evidência. Logo:

\( a(x+y)+b(x+y) \)

\( (x+y) \cdot (a+b) \)

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Quadrado da Soma ou Diferença de Dois Termos e Trinômio do Quadrado Perfeito

Ana Paula tem uma mesa quadrada e, muito cuidadosa, resolveu comprar uma toalha no tamanho exato da mesa, conforme mostra a ilustração a seguir.

Figura 19 - Mesa

[Image: Mesa com toalha amarela]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Entretanto seu esposo Júnior resolveu comprar outra mesa quadrada, maior que a primeira e percebeu que, evidentemente, a toalha ficaria pequena, mas muito curioso, utilizou seus conhecimentos matemáticos para comparar as duas áreas.

Figura 20 - Mesa maior

[Image: Mesa com toalha amarela acima que não cobre ela por completo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Figura 21 - Comparação entre as duas mesas

[Image: uma mesa menor com tolha, e em seguida a toalha colocada na mesa maior]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Inicialmente temos um quadrado de lado a, cuja área é dada por \( a^2 \).

Figura 22 - Quadrado de lado a

[Image: Quadrado de lado a, cuja área é dada por A elevado ao quadrado]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

E, posteriormente vamos acrescentar duas faixas com largura b, resultando em um quadrado cujo lado mede \( a+b \). Conforme mostra figura a seguir.

Figura 23 - Quadrado a com faixar acrescentadas

[Image: Quadrado cujo lado mede a+b]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Logo a área total será \( (a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2 \).

Efetuando a propriedade distributiva, vamos multiplicar esses dois binômios.

\( (a+b) \cdot (a+b) \)

\( a^2 + ab + ba + b^2 \)

\( a^2 + 2ab + b^2 \)

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Vamos agora dividir o mesmo quadrado de uma forma mais detalhada.

Figura 24 - Quadrado dividido

[Image: Quadrado a elevado ao quadrado + 2ab + b elevado ao quadrado]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Note que a soma das áreas é exatamente o resultado do produto efetuado entre os dois binômios \( a+b \).

\( a^2 + 2ab + b^2 \)

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Então concluímos que \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), daí vamos chegar a uma regra prática para aplicarmos nesse caso. Perceba que a é o primeiro termo e \( b \) é o segundo termo do binômio, que está elevado ao quadrado.

Logo, podemos enunciar a seguinte frase para esse caso de produto notável.
“Quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo”

Ao fazermos o procedimento contrário, ou seja, escrever \( a^2 + 2ab +b^2 \) na forma \( (a + b)^2 \) estamos fatorando a expressão, que resultará em um quadrado perfeito, daí o nome “Trinômio do quadrado perfeito”.

Vamos aos passos para identificar um trinômio do quadrado perfeito:

1º) Observe se temos dois termos ao quadrado.

2º) Calcule a raiz quadrada desses termos.

3º) Multiplique os resultados por \( 2 \).

4º) Compare o valor encontrado com o terceiro termo do trinômio, se forem iguais, então será um trinômio do quadrado perfeito.

Vejamos alguns exemplos:

         a) \( 9a^2 + 30ab + 25b^2 \)

                \( \downarrow \)  \( \downarrow \)

          \( \sqrt{9a^2} \)            \( \sqrt{25b^2} \)

                \( \downarrow \)        \( \downarrow \)

              3a                      5b

Agora multiplicando por dois os resultados encontrados \( 3a \cdot 5b \cdot 2 = 30ab \), encontramos exatamente o outro termo do trinômio, e o sinal dele será utilizado para formar o binômio que estará ao quadrado, resultando:

Sem título Text

\( 9a^2 + 30ab + 25b^2 = (3a + 5b)^2 \)

         b) \( 4a^2x^2 - 4abx + b^2 \)

                \( \downarrow \)  \( \downarrow \)

          \( \sqrt{4a^2x^2} \)            \( \sqrt{b^2} \)

                \( \downarrow \)        \( \downarrow \)

              2ax                      b

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Multiplicando os resultados por 2 temos:

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Daí concluímos que \( 4a^2x^2 - 4abx + b^2 = (2ax - b^2) \)

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Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos e Diferença de Dois Quadrados

Considerando dois termos \( a \) e \( b \), distintos entre si. Vamos aplicar a propriedade distributiva e efetuar o seguinte produto:

\( (a+b) \cdot (a-b) \)

\( a^2-ab+ba-b^2 \)

        \( a^2-b^2 \)

Então \( (a+ b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2 \), ou seja, “O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”

Agora vamos para fatoração do binômio \( a^2-b^2 \), “Diferença de dois quadrados.” Vejamos alguns exemplos:

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Daí basta utilizar esses termos para descrever o produto da soma pela doiferença deles, então:

Sem título Text

a) \( x^2 - 25 \)

                \( \downarrow \)  \( \downarrow \)

          \( \sqrt{x^2} \)            \( \sqrt{25} \)

                \( \downarrow \)        \( \downarrow \)

              x                     5

Sem título Text

Simplificação de expressões algébricas

Simplificar uma expressão algébrica é escrevê-la numa forma mais simples, geralmente mais curta, mas sem alterar seu valor original. Podemos somar ou subtrair termos semelhantes, nos casos de frações algébricas devemos recorrer à fatoração para posteriormente facilitar a divisão. Vejamos alguns exemplos:

        a) O polinômio \( 5x-7y+2x-3x+10y \) é composto por 5 termos, mas percebendo que temos termos semelhantes, vamos efetuar as operações possíveis e simplificar essa expressão reduzindo a quantidade total de termos.

\( 5x-7y+2x-3x+10y \)

\( 5x+2x-3x+10y-7y \)

\( 4x+3y \)

        b) Já na fração algébrica \( \frac{16x^3+12xy}{2x^2} \), devemos fatorar as expressões para simplificá-la, vejamos:

\( \frac{16x^3+12xy}{2x^2} \)

\( \frac{2x \cdot (8x^2+6y)}{2x \cdot x} \)

\( \frac{8x^2+6y}{x} \)

Sem título Astro Card

Note que poderíamos ter colocado em evidência 4x, mas como o denominador da fração era 2x2, que corresponde a 2∙x∙x, então nesse caso é mais indicado, como fizemos, colocar 2x em evidência.

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c) Nessa fração algébrica \( \frac{x^2-36}{(x+6) \cdot (x-4)} \), temos no numerador uma diferença de dois quadrados e o denominador já está na sua forma fatorada, então:

\( \frac{x^2-36}{(x+6) \cdot (x-4)} \)

\( \frac{(x+6) \cdot (x-6)}{ (x+6) \cdot (x-4)} \)

\( \frac{x-6}{x-4} \)

Sem título Text

Equações, inequações e sistemas de equações do primeiro grau

Equações

Chamamos de equação toda sentença matemática expressa por uma igualdade que contém um ou mais termos desconhecidos representados por letras. Vejamos alguns exemplos:

   a) \( x - 2y +z = -3 \)

   b) \( 4a + 6 = 0 \)

   c) \( 3x^2 - 2x + 8 = 0 \)

O que determina o grau de uma equação é o maior expoente das incógnitas, então, observando os exemplos acima podemos classificar as equações da seguinte maneira:

   a) \( x - 2y + z = -3 \) (Equação do 1º grau com três incógnitas, \( x, y e z \))

   b) \( 4a+6=0 \) (Equação do 1º grau com uma incógnita, \( a \))

   c) \( 3x^2-2x+8=0 \) (Equação do 2º grau com uma incógnita, \( x \))

Portanto uma Equação do 1º grau é aquela onde todas as variáveis ou incógnitas possuem expoente igual a 1.

A equação do 1º grau é muito utilizada em situações do nosso cotidiano, por esse motivo esse conteúdo é muito explorado em provas e concursos.

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Vejamos um exemplo:

1. Fui ao supermercado e comprei 4 quilos de carne mais um refrigerante de dois litros no valor de R$ 7,00, gastei na compra um total de R$ 151,00. Ao chegar em casa, minha mãe perguntou quanto custou cada quilo de carne?

Figura 25 - Pedido no açougue

[Image: Desenho de uma pessoa comprando carne em um açougue]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

SOLUÇÃO:

Podemos fazer uma modelagem matemática dessa situação montando uma equação do 1º grau para resolver esse problema. Vamos chamar de x o valor do quilo da carne, se eu comprei 4 quilos, então eu gastei 4∙x, somando com o refrigerante, que custou R$ 7,00, e sabendo que gastei ao todo R$ 151,00 temos finalmente nossa equação montada da seguinte forma: 4x+7=151. Resolvendo essa equação vamos descobrir quanto custa cada quilo de carne.

A seguir vamos aprender a resolver uma equação do 1º grau.

Resolução de uma Equação do 1º Grau

Resolver uma equação é descobrir o valor da incógnita que torne verdadeira aquela igualdade, vamos para um exemplo:

Temos a seguinte equação \( 3x-14=1 \). Qual seria o valor de x que deveríamos substituir nesta equação para que essa sentença seja verdadeira, vamos testar dois valores:

Se \( x = 6\), teremos:     Se \( x = 5 \), teremos:

\( 3x - 14 = 1 \)     \( 3x - 14 = 1 \)

\( 3 \cdot 6 - 14 = 1 \)     \( 3 \cdot 5 -14 = 1 \)

\( 18 - 14 = 1 \)     \( 15 - 14 = 1 \)

\( 4 = 1 \)     \( 1=1 \)

(Falso)   (Verdadeiro)

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Descobrimos por tentativa a solução da equação, mas é claro que não podemos querer adivinhar o valor de uma incógnita, então qual seria o método?

Antes de iniciarmos a resolução de uma equação, você deve saber que o lado esquerdo da igualdade é chamado de 1º membro da equação e o lado direito é chamado de 2º membro.

\( 7x+2 \)  \( = \) \( 3x+14 \)

    1º membro 2º membro

Então para encontrarmos a solução de uma equação, ou seja, o valor da incógnita, basta você isolar a incógnita em um dos membros, não importa se é no 1º ou 2º membro.

Na prática, para mudar um termo de um membro para o outro, devemos mudar a operação segundo as regras Matemáticas já conhecidas. Vamos detalhar, mas em seguida faremos de uma forma mais direta.

Quando lemos a equação \( 7x+2=3x+14 \), podemos imaginar uma balança em equilíbrio, onde o que está no 1º prato tem o mesmo peso do que está no 2º prato.

Figura 26 - Balança com equações

[Image: Balança em equilíbrio com a equação 7x + 2 = 3x + 14]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Então o que acrescentarmos no 1º membro, deverá ser acrescentado ao 2º membro para não perdermos o equilíbrio da balança.

1º) Vamos acrescentar ao 1º e 2º membro o número -2

\( 7x+2-2=3x+14-2 \)

\( 7x+0=3x+12 \)

\( 7x=3x+12 \)

2º) Vamos acrescentar agora ao 1º e 2º membro o termo -3x

\( 7x-3x=3x+12-3x \)

\( 4x=12+0 \)

\( 4x=12 \)

3º) E finalmente vamos dividir ambos os membros por 4. Afinal de contas, todas as operações que fizermos no 1º membro deverá ser feita no 2º membro.

\( 4x=12 \)

\( \frac{4x}{4}=\frac{12}{4} \)

\( x=3 \)

Esse método de realizar a mesma operação nos dois membros é realizado de maneira mais informal e de fácil entendimento utilizando a seguinte linguagem:

“Para isolar o x numa equação basta passar quem tem x para um lado e quem não tem para o outro, sempre que mudamos um termo de lado da igualdade, mudamos também a operação. Quem está somando passa subtraindo e vice-versa, quem está multiplicando passa dividindo e vice-versa.”

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Vamos ver alguns exemplos:

   a) \( 2x+6=20 \) para isolar o x, vamos passar o +6 para o 2º membro subtraindo.

\( 2x=20-6 \)

\( 2x=14 \)  agora vamos passar o 2 dividindo pois ele está multiplicando o x.

\( x=\frac{14}{2} \)

\( x=7 \)

Portanto a solução da equação é \( x=7 \), e deve ser escrito da seguinte maneira:

\( S=\lbrace{7}\rbrace \)

Observação: Sempre que resolvermos uma equação devemos escrever o conjunto solução.

   b) \( 2x-3+6x=14+x-5+4x \) vamos primeiro somar ou subtrair os termos

  semelhantes.

           \( 2x+6x-3=14-5+x+4x \) apenas escrevi os termos semelhantes um ao lado do outro para facilitar o entendimento, perceba que trocamos nenhum termo de lado.

               \( 8x-3=11+5x \)

\( 8x-3=11+5x \) agora, quem tem x vai para um lado, quem não tem vai para o outro, trocando as operações.

\( 8x-5x=11+3 \) somando e subtraindo os termos semelhantes.

       \( 3x=14 \) quem está dividindo passa multiplicando, no caso o 3.

        \( x=\frac{14}{3} \) como a divisão não é exata, podemos deixar a solução escrita em forma de fração.

               \( S=\lbrace{\frac{14}{3}}\rbrace \)

   c) \( x-2-4(x+3)=2(x-1)+5 \) primeiro vamos eliminar os parênteses.

\( x-2-4x-12=2x-2+5 \) somando ou subtraindo os termos semelhantes.

\( -3x-14=2x+3 \) nessa equação vamos isolar o x no 2º membro, isso para que ele não fique negativo.

        \( -14-3=2x+3x \) somando os termos semelhantes.

              \( -17=5x \) o 5 que está multiplicando passa dividindo.

                \( -\frac{17}{5}=x \)como a divisão não é exata, podemos deixar a solução escrita em forma de fração.

                  S=\( -\frac{17}{5} \)

   d) \( \frac{3x}{2}+\frac{5}{6}-1=2x+\frac{3-x}{x} \)

     \( \frac{9x+5-6}{6}=\frac{12x+2\cdot(3-x)}{6} \)

       \( 9x-1=12x+6-2x \)

       \( -1-6=10x-9x \)
            \( -7=x \)

   e) A soma de três números consecutivos é 42. Determine o valor do maior número.

Vamos nomear cada um dos números: O menor deles será x, o próximo será \( x+1 \) e o maior deles será \( x+2 \), daí podemos montar nossa equação.

\( x+(x+1)+(x+2)=42 \)

\( x+x+1+x+2=42 \)

\( 3x+3=42 \)

\( 3x=42-3 \)

\( 3x=39 \)

\( x=\frac{39}{3} \)

\( x=13 \)

Agora podemos encontrar o valor dos três números:

Menor: \( x=13 \)

Próximo número: \( x+1=13+1=14 \)

Maior número: \( x+2=13+2=15 \)

Portanto, a resposta do nosso problema é \( 15 \).

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Inequações do 1º grau

É uma sentença matemática aberta, ou seja, é aquela sentença que apresenta mais de uma solução. Toda inequação é regida por uma desigualdade, que pode ser representada por um desses sinais de associação:

- Maior:  >
- Menor:  <
- Maior ou igual:
- Menor ou igual:
- Diferente:

Toda inequação do 1º grau pode ser resolvida seguindo as mesmas regras de uma equação, a ideia é sempre isolar a variável, entretanto devemos tomar alguns cuidados. Vejamos alguns exemplos:

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a) \( 4(2x-3)-3≥5(x+3) \)

\( 8x-12-3≥5x+15 \)

\( 8x-15≥5x+15 \)

\( 8x-5x≥15+15 \)

\( 3x≥30 \)

\( x≥\frac{30}{3} \)

\( x≥10 \)

A solução é qualquer número real maior ou igual a 10, portanto, temos infinitos números que satisfazem essa inequação. Podemos representar essa resposta graficamente através da reta dos números Reais, indicamos de vermelho qual intervalo representa a solução.

Figura 27 - Reta dos números reais

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b) \( 4(x-2)>8x+12 \)

\( 4x-8>8x+12 \)

\( -8-12>8x-4x \)

\( -20>4x \)

\( -\frac{20}{4}>x \)

\( -5>x \)

Nesta inequação isolamos o 2º membro, isso nâo gera problema algum, mas entenda o que está escrito: (é maior que), isso quer dizer que (é menor que).

(Lê-se: x paertence ao conjunto dos números Reais, tal que x é maior ou igual a dez.)

Figura 28 - Reta com números reais

Sem título Astro Card

Perceba que no exemplo “a”, a bolinha no número 10 está pintada, isso significa dizer que o número 10 faz parte da solução, lê-se intervalo fechado em 10. Já no exemplo “b”, a bolinha não está pintada no número -5, ela está “aberta”, isso significa dizer que o número -5 não faz parte da solução.

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Sistemas de equações do 1º grau com duas variáveis

Os sistemas de equações do 1º grau também podem ser chamados de Sistemas Lineares, podem ter mais de duas variáveis, no entanto vamos focar nossa atenção aos sistemas lineares com duas variáveis. Vejamos alguns exemplos:

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\[\left\{\begin{matrix}2x+3y&=&5\\x-y&=&2\end{matrix}\right.\]

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Sistema com duas variáveis.

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\[\left\{\begin{matrix}2x+3y-z=3\\x-y+z=2\\-5x+3y+3z=10\end{matrix}\right.\]

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Sistema com três variáveis.

A solução de um sistema são valores que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema. Nos sistemas com duas variáveis a solução é um par ordenado. Vejamos um exemplo:

Sem título Text

No sistema \[\left\{\begin{matrix}x+y&=&3\\x-y&=&1\end{matrix}\right.\] cada equação admite infinitas soluções, vamos mostrar algumas delas:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Equação

Soluções - Par Ordenado \( (x, y) \)

\( x + y = 3 \)

\( (3, 0) \)

\( (2, 1) \)

\( (4, -1) \)

\( (1, 2) \)

\( x-y=1 \)

\( (1, 0) \)

\( (3, 2) \)

\( (5, 4) \)

Sem título Text

Destacamos o par ordenado 2, 1 que serve como solução para as duas equações simultaneamente, portanto esse par ordenado será a solução do sistema.

Métodos de resolução de um sistema com duas variáveis

Existem alguns métodos para solucionarmos um sistema com duas variáveis, vamos estudar juntos os dois métodos mais utilizados: Método da Substituição e Método da Adição.

Método da substituição

Consiste em isolar uma variável em uma das equações, e substituir essa variável isolada na outra equação. Vejamos o exemplo:

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\[\left\{\begin{matrix}x-2y&=&0\\2x-5y&=&3\end{matrix}\right.\]

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Vamos isolar a variável x na primeira equação, essa escolha se deve pois o coeficiente de x nessa equação é igual a 1. Dessa forma evitamos trabalhar com frações.

\( x-2y=0 \) isolando obtemos \( x=2y \). Agora vamos substituir o valor isolado na outra equação, ou seja, na equação \( 2x-5y=3 \), onde tiver \( x \), vamos substituir por \( 2y \), e em seguida calcular o valor de y.

\( 2x-5y=3 \)

\( 2 \cdot 2y-5y=3 \)

\( 4y-5y=3 \)

\( -y=3 \)

\( -3=y \)

Agora que determinamos o valor de y, vamos escolher qualquer uma das equações para substituir y por \( -3 \) e encontrar o valor de x. O caminho mais fácil é utilizar a equação que isolamos x.

\( x=2y \)

\( x=2 \cdot (-3) \)

\( x=-6 \)

Portanto a solução do sistema \[\left\{\begin{matrix}x-2y&=&0\\2x-5y&=&3\end{matrix}\right.\] é dada por S=\( \lbrace{(-6, -3)}\rbrace \).

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Método da adição

Esse método consiste em somar as duas equações eliminando uma das variáveis e consequentemente encontrando o valor da outra variável. Vejamos um exemplo:

\[\left\{\begin{matrix}5x+4y&=&1\\2x-3y&=&5\end{matrix}\right.\]

Podemos eliminar qualquer uma das duas variáveis x ou y. Vamos algumas dicas que facilitam o processo.

1ª) Se possível elimine a variável cujos elementos possuem sinais opostos, nesse caso vamos eliminar a variável y, pois os termos (4y e -3y) tem sinais opostos.

2ª) Para eliminar uma variável devemos multiplicar a 1ª equação pelo algarismo da 2ª equação e multiplicar a 2ª equação pelo algarismo da 1ª equação, vamos lá.

No nosso exemplo, vamos multiplicar a 1ª equação por 7 e a 2ª equação por 4.

\[\left\{\begin{matrix}5x+4y&=&1\times3\\2x-3y&=&5\times4\end{matrix}\right.\]  \( \rightarrow \) \[\left\{\begin{matrix}15x+12y&=&3\\8x-12y&=&20\end{matrix}\right.\]

Agora vamos somar as duas equações e consequentemente eliminar a variável y.

\[\left\{\begin{matrix}15x+12y&=&3\\8x-12y&=&20+\end{matrix}\right.\]

   \( 23x =23 \)

     \( x=\frac{23}{23} \)

      \( x=1 \)

Agora que descobrimos o valor de x, podemos substituir esse valor em qualquer uma das duas equações para encontrar o valor de y. Vamos substituir na primeira equação.

\( 5x+4y=1 \)

\( 5 \cdot 1+4y=1 \)

\( 5+4y=1 \)

\( 4y=1-5 \)

\( 4y=-4 \)

\( y=\frac{-4}{4} \)

\( y=-1 \)

Portanto a solução do sistema \[\left\{\begin{matrix}5x+4y&=&1\\2x-3y&=&5\end{matrix}\right.\] é dada por S=\( \lbrace{(1, -1)}\rbrace \)

E se as variáveis não tivessem sinais opostos? Como deveríamos proceder?

Para responder essa pergunta, vamos utilizar o mesmo sistema e eliminar agora a variável x.

Seguindo a nossa 2ª dica, temos que o algarismo de x da 1ª equação (5) multiplica a 2ª equação e o algarismo de x da 2ª equação (2) multiplica a 1ª equação.

\[\left\{\begin{matrix}5x+4y&=&1\times2\\2x-3y&=&5\times5\end{matrix}\right.\]

Atenção para esse detalhe: como os sinais não são opostos, devemos acrescentar um sinal negativo em um dos algarismos (pode ser no 2 ou no 5), para conseguirmos após a soma das equações eliminar a variável x. Vamos colocar o sinal negativo no número 5, então temos:

\[\left\{\begin{matrix}5x+4y&=&1\times2\\2x-3y&=&5\times(-5)\end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix}10x+8y&=&2\\-10x+15y&=&-25\end{matrix}\right.\]

Agora vamos somar as duas equações e consequentemente eliminar a variável x.

\[\left\{\begin{matrix}10x+8y&=&2\\-10x+15y&=&-25\end{matrix}\right.\]

\( 23y=-23 \)

\( y= \frac{-23}{23} \)

\( y=-1 \)

Observe que chegamos ao mesmo resultado, S=\( \lbrace{(1, -1)}\rbrace

Agora vamos ver uma questão contextualizada, nesse caso vamos primeiro modelar o problema, ou seja, construir o sistema e em seguida resolvê-lo.

Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que errasse pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Quantos arremessos foram convertidos pelo jogador?

Vamos identificar quais são as variáveis e nomeá-las.

Arremessos certos \( \rightarrow \)x

Arremessos errados \( \rightarrow \)y

Como ele arremessou 20 vezes, então podemos obter uma equação: \( x+y=20 \).

Sabemos que ele recebeu ao final da partida R$ 50. Se, cada arremesso certo ganha R$ 10, e cada arremesso errado perde R$ 5, então essa equação será:

\( 10x-5y=50 \).

Perfeito!!! Sistema montado, \[\left\{\begin{matrix}x+y&=&20\\10x-5y&=&50\end{matrix}\right.\], agora vamos resolvê-lo.

Uma dica importante, no caso de uma questão contextualizada, é você ficar atento à pergunta, que no nosso caso foi: “Quantos arremessos foram convertidos?”

Isso quer dizer que devemos encontrar o valor de x, portanto vamos eliminar o y.

\[\left\{\begin{matrix}x+y&=&20\times5\\10x-5y&=&50\times1\end{matrix}\right.\]

\[\left\{\begin{matrix}5x+5y&=&100\\10x-5y&=&50\end{matrix}\right.\]

_______________________

\( 15x=150 \)

\( x=\frac{150}{15} \)

\( x=10 \)

Resposta: O jogador converteu 10 arremessos na partida.

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Equações do 2° grau

As equações do segundo grau têm suas raízes históricas em civilizações antigas, como os babilônios, egípcios e gregos. Esses povos buscavam resolver problemas práticos envolvendo áreas e dimensões geométricas, o que naturalmente levou ao estudo de expressões matemáticas quadráticas. Na álgebra moderna, a equação do segundo grau se tornou um dos tópicos fundamentais, com aplicações em diversas áreas, como física, economia, engenharia e ciências computacionais.

A forma geral de uma equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau em uma variável (x) é definida pela expressão:

\( ax^2 + bx + c = 0 \),

onde:

- a, b e c são números reais com a ≠ 0 (o termo a precisa ser diferente de zero para que o termo \( x^2 \) esteja presente);

- x é a variável ou incógnita da equação.

Por exemplo:

\( -2x^2 + 3x - 5 = 0 \) é uma equação do segundo grau completa (a, b e c diferentes de zero).

\( -x^2 - 4 = 0 \) é uma equação do segundo grau incompleta (neste caso, b=0).

Resolvendo equações do segundo grau incompletas

Uma equação do segundo grau é dita incompleta quando pelo menos um dos coeficientes b ou c é zero. Existem dois casos principais:

1. Quando c=0 e b≠0

A equação assume a forma:

\( ax^2 + bx = 0 \)

Neste caso, podemos fatorar x em evidência:

\( x(ax+b) = 0 \)

As soluções são:

\( x = 0 \)  ou  \( x = - \frac{b}{a} \)

2. Quando b=0 e c≠0

A equação assume a forma:

\( ax^2 + c = 0 \)

Isolamos \( x^2 \):

\( x^2 = -\frac{c}{a} \)

As soluções são:

\( x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \)   (Logo, só existe solução se \( -\frac{c}{a} \) for positivo)

A equação completa e o método de completar o quadrado

A equação completa do segundo grau é dada por:

\( ax^2 + bx +c = 0 \)

Podemos resolver essa equação pelo método de completamento de quadrado.

Passo a passo para o completamento do quadrado

1. Divida toda a equação por a (se a≠1).

2. Reescreva a equação de forma a deixar os termos \( x^2+\frac{b}{a} \) x isolados.

3. Adicione e subtraia o termo necessário para completar o quadrado.

4. Reescreva como um quadrado perfeito e resolva.

Exemplo 1

Resolva \( x^2 + 6x +5 = 0 \)

1. Isolando os dois primeiros termos:

   \( x^2 + 6x = -5 \)

2. Complete o quadrado:

   Adicione e subtraia 9:

   \( x^2 + 6x +9 -9 = -5 \)

3. Reescreva como um quadrado perfeito:

   \( (x + 3)^2 -9 = -5 \)

4. Isolando o quadrado:

   \( (x+3)^2 = 4 \)

5. Resolva para x:

   \( x + 3 = \pm \sqrt{4} \)

   \( x+3 = \pm 2 \)

   \( x = -1 \)   ou  \( x=-5 \)

Exemplo 2

Resolva \( 2x^2+8x-10=0 \)

1. Divida por 2:

   \( x^2+4x-5=0 \)

2. Isolando os dois primeiros termos:

   \( x^2+4x=5 \)

3. Complete o quadrado:

   Adicione e subtraia 4:

   \( x^2+4x+4-4=5 \)

4. Reescreva como um quadrado perfeito:

   \( (x+2)^2-4=5 \)

5. Resolva para x:

   \( (x+2)^2=9 \)

   \( x=1 \)  ou  \( x=-5 \)

Deduzindo a fórmula resolutiva

A fórmula resolutiva pode ser encontrada ao aplicar o método de completar o quadrado na equação geral \( ax^2+bx+c=0 \)

1. Divida por a os dois membros da equação:

   \( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \)

2. Isolando os dois primeiros termos:

   \( x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \)

3. Complete o quadrado:

   Adicione \( (\frac{b}{2a})^2 \) aos dois membros da equação:

   \( x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2 \)

4. Reescreva como quadrado perfeito:

   \( (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \)

5. Resolva para x:

   \( x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{b^2-4ac}{2[a]} \)

\( x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)

que é a fórmula resolutiva!!

Pela fórmula, vemos que uma equação do segundo grau pode não ter solução real, uma vez que o valor de x depende da existência da raiz quadrada \( \sqrt{b^2-4ac} \).

Assim, vamos falar um pouco mais sobre o conteúdo deste radical a seguir.

O papel do discriminante

O discriminante, denotado por \( \Delta \), é dado por:

\( \Delta=b^2-4ac \)

Com base no valor de \( \Delta \), podemos determinar a quantidade de raízes reais da equação do segundo grau.

1. Quando \( \Delta > 0 \):
  - Se o discriminante for maior que zero, ou seja, \( \Delta > 0 \), a equação do segundo grau tem duas raízes reais e distintas.
  - Isso ocorre porque o valor da raiz quadrada de um número positivo é real e diferente de zero, o que nos dá duas soluções diferentes para a equação.
  - Essas duas raízes são dadas por:    \( x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \)   e  \( x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \)

Exemplo: Considere a equação \( x^2-5x+6=0 \).   O discriminante será:

\( \Delta =(-5)^2-4(1)(6)=25-24=1 \)

Como \( \Delta = 1 > 0 \), temos duas raízes reais e distintas:

\( x_1=\frac{-(-5)+1} {2\cdot(1)} = \frac{ 5+1} {2} = 3 \)   ,     \( x_2=\frac{ -(-5)-1}{2\cdot(1)}=\frac{5-1}{2} = 2 \)

Logo, as raízes são \( x_1=3 \) e \( x_2=2 \)

1. Quando \( \Delta = 0 \):
  - Se o discriminante for igual a zero, ou seja, \( \Delta = 0 \), a equação do segundo grau tem uma única raiz real (ou duas raízes iguais).
  - A única raiz real é dada por: \( x=-\frac{b}{2a} \)

Exemplo: Considere a equação \( x^2-6x+9=0 \).  O discriminante será:

\( \Delta =(-6)^2-4(1)(9)=36-36=0 \)

Como \( \Delta = 0 \), temos uma única raiz real:

\( x = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \)

Logo, a única raiz é \( x = 3 \).

1. Quando Δ < 0:
  - Se o discriminante for menor que zero, ou seja, \( \Delta < 0 \), a equação do segundo grau não tem raízes reais.
  - Isso ocorre porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.

Exemplo: Considere a equação \( x^2+2x+5=0 \).  O discriminante será:

\( \Delta =2^2-4(1)(5)=4-20=-16 \)

Logo, a equação \( x^2+2x+5=0 \) não possui raízes reais.

Resumindo a existência de raízes

A existência e o número de raízes de uma equação do segundo grau dependem do valor do discriminante \( \Delta =b^2-4ac \):

- Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.
- Se Δ = 0, a equação tem uma raiz real (ou duas iguais).
- Se Δ < 0, a equação não tem raízes reais.

Capítulo 2: Funções e medidas de grandezas

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Ao final deste capítulo, você será capaz de compreender e aplicar conceitos matemáticos como razão e proporção, porcentagem e juros simples. Aprenderá a comparar quantidades, resolver problemas de proporção, calcular descontos e aumentos percentuais, e diferenciar tipos de juros em empréstimos e investimentos. Além disso, você explorará o sistema de coordenadas cartesianas, aprendendo a localizar pontos no plano e entender o comportamento de funções afins. Por fim, dominará o cálculo de porcentagens e a simplificação de números grandes ou pequenos usando notação científica. Vamos nessa?

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Os conceitos matemáticos estão o tempo todo presentes nas nossas atividades diárias, seja ao calcular o tempo que levamos para ir à escola até entendermos quanto vamos pagar em uma promoção. Conhecer e entender esses conceitos é fundamental para tomarmos decisões mais conscientes e estarmos preparados para o que o mundo nos oferece.

Vamos explorar alguns temas matemáticos que são muito importantes para a nossa vida cotidiana. Ao final do capítulo, você terá aprendido a comparar quantidades e entender como as grandezas se relacionam; resolver problemas que envolvem proporções; saber lidar com porcentagem para tomar decisões financeiras; e diferenciar os tipos de juros contidos nos empréstimos e investimentos.

Razão e proporção; medidas de grandezas

Esses conceitos são fundamentais para comparar quantidades de grandezas e entender a dependência entre elas. Seja ao dividir um prêmio entre amigos ou calcular a quantidade de ingredientes em uma receita, a razão e a proporção estão sempre presentes. Com eles, conseguimos perceber como uma grandeza pode influenciar outra.

Vejamos esse exemplo

Mapas geográficos frequentemente moldam nossa compreensão do mundo, mas não nos dizem nada sobre onde as pessoas vivem. Para entender isso, precisamos olhar para a densidade populacional.

A densidade populacional mede o quão densamente povoada uma área é. Ela é calculada dividindo a população total pela área total de terra da área.

O mapa mostra o número de pessoas por quilômetro quadrado \( (km^2) \) em todos os países.

Figura 1 - Mapa densidade populacional

[Image: Mapa mundi]

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Fonte: https://ourworldindata.org/most-densely-populated-countries

Globalmente, a densidade populacional média é de 63 pessoas por km² em 2025, mas há diferenças muito grandes entre os países.

Muitas das pequenas ilhas ou estados isolados do mundo têm grandes populações para seu tamanho. Os cinco mais densamente povoados são Macau, Mônaco, Cingapura, Hong Kong e Gibraltar. Cingapura tem 8177 pessoas por km², cerca de 200 vezes mais densa que os Estados Unidos e 2000 vezes mais densa que a Austrália.

Dos países maiores, Bangladesh é o mais densamente povoado, com 1350 pessoas por km². É seguido por Ruanda (591), Líbano (572), Burundi (560) e Holanda (545).

O texto acima foi retirado do site https://ourworldindata.org/most-densely-populated-countries  e mostra as densidades demográficas dos países, enfatizando os que possuem as maiores densidades no ano de 2025. No site, é possível ver as densidades em outras épocas, bem como uma projeção futura da população em nosso planeta. No texto, nos deparamos com medidas de áreas, contagem de pessoas, comparações entre países, e, no site, é possível verificar a variação ao longo do tempo.

Grandezas

Você já parou para pensar que vivemos cercados de situações que envolvem medidas? Tudo aquilo que pode ser medido ou contado é considerado como sendo uma grandeza, por exemplo: massa, comprimento, preço, tempo, número de pessoas, salário, distância, etc.

Figura 2 - Elementos que representam grandezas

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Certas grandezas mantêm entre si uma relação de dependência, ou seja, a variação de uma das grandezas faz com que a outra também sofra variação na mesma taxa que a primeira. Isso quer dizer que existem grandezas que são proporcionais entre si.

Razão

Para relacionar grandezas podemos usar o conceito de Razão. A razão é a divisão entre duas grandezas a e b, e pode ser representado por \( a\div b \) ou \( \frac{a}{b} \) .

Em uma razão, o numerador e o denominador podem ser chamados de:

\( \frac{a}{b} \rightarrow \) Antecedente \( \rightarrow \) Consequente

São exemplos de razão:

- Velocidade Média – é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrer essa distância.

Velocidade \( = \frac{distância}{tempo} \)

Vejamos um exemplo:

Se um ônibus percorreu 140 km em 2 horas, sua velocidade média foi:

Velocidade média \( = \frac{140}{2} = 70 km/h \)

- Escala – é a razão entre o comprimento do desenho e o comprimento real, ambos medidos na mesma unidade.

Escala \( \frac{medida no desenho}{medida real} \)

Vejamos um exemplo:

Se a distância entre duas cidades em um mapa é 5 cm, e na realidade a distância é de 20 km, a escala utilizada no mapa foi:

Lembre-se que as grandezas devem estar na mesma unidade, então convertendo 20km para centímetro obtemos: 20km = 2.000.000cm, logo:

Escala \( = \frac{5}{2.000.000} = \frac{1}{400.000} \)

- Densidade Demográfica – é a razão entre o número de habitantes e a área ocupada em certa região.

Densidade demográfica \( \frac{população}{área} \)

Vejamos um exemplo:

Natal possui uma população residente de 751.300 pessoas, segundo o censo do IBGE de 2022 , distribuída numa área de 167,4 km2, logo sua densidade demográfica é:

Densidade demográfica \( = \frac{751.300}{167,4} = 4.488,05 hab/km^2 \)

- Renda per capita de um país – é o nome que se dá à distribuição fictícia do total de dinheiro que existe em um país pela quantidade de habitantes. Essa distribuição é fictícia porque, na realidade, o dinheiro existente em um país não é dividido pela sua população, o cálculo é feito com o PIB (Produto Interno Bruto). A Renda per capita é um dos indicadores socioeconômicos que avaliam o grau de desenvolvimento econômico de um determinado lugar.

Renda per capita \( = \frac{PIB}{população} \)

Vejamos um exemplo:

De acordo com uma pesquisa realizada pelo Fundo Monetário Internacional (FMI) , são os europeus que lideram entre os países mais ricos do mundo. Seis países da Europa estão na lista das dez nações com maior renda per capita do mundo, e na liderança está Luxemburgo, um pequeno país no centro da Europa.

Renda per capita (Luxemburgo) = \( \frac{US$ 96,99 bilhões}{0,69 milhões de hab.}\simeq US$ 141 mil \)

Fonte: https://www.imf.org/external/datamapper/profile/LUX

Proporção

Uma proporção é a igualdade de duas razões. Então, devemos representar uma proporção da seguinte maneira:

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \)

Lê-se a está para b assim como c está para d. Isso quer dizer que a é proporcional a b da mesma forma que c é proporcional a d.

Como a proporção é uma igualdade de duas divisões, então podemos escrever da seguinte maneira \( a\div b=c\div d \).

Daí os termos dessa proporção serão chamados de:

Meios

\( a\div b=c\div d \)

Extremos

Quais são as propriedades da proporção?

Como a proporção é uma igualdade de duas razões, podemos manipular seus termos utilizando as operações matemáticas, e assim obter várias propriedades. Vamos destacar as mais utilizadas.

Considerando a seguinte proporção \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \), podemos concluir algumas equivalências:

1. O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow a\cdot d=b\cdot c \)

1. Utilizando a propriedade comutativa da multiplicação, percebemos que é possível trocar de lugar os meios e os extremos.

\( d\cdot a=b\cdot c\Leftrightarrow \frac{d}{b}=\frac{c}{a} \)         ou        \( a\cdot d=c\cdot b \Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d} \)

1. Numa proporção, a soma ou subtração dos antecedentes é igual à soma ou subtração dos consequentes.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d} \)

Vamos mostrar um exemplo numérico:

\( \frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{3+2}{6+4}=\frac{3-2}{6-4} \)

Note que efetuando todas as divisões, o resultado sempre será 0,5, afinal essas razões são equivalentes.

1. A soma do numerador com o denominador dividido pelo numerador da primeira razão é equivalente à soma do numerador com o denominador dividido pelo numerador da segunda razão.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c} \)

Essa propriedade também é válida para subtração.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c} \)

E podemos utilizar, ao invés do numerador, o denominador, tanto na adição como na subtração.

\( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d} \)    ou      \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} \)

Atividade 1 Unidade 2

Q: Em nosso dia a dia, estão presentes vários tipos de grandezas. Das alternativas abaixo, assinale qual grandeza não é definida por uma razão:
- Temperatura. (correct)
- Pressão.
- Densidade.
- Velocidade.

Q: Guilherme estava treinando chutes a gol, pois vai participar de um torneio na sua escola. Sabendo que de 20 chutes ao gol, ele acertou 15, qual é razão entre o número de acertos e o total de chutes efetuados por Guilherme?
- 34 (correct)
- 23
- 56
- 25

Q: No exame de seleção do IFRN, a razão entre o número de meninos e meninas inscritas foi de 9/5. Sabendo que 225 candidatos inscritos são do sexo masculino, então o número total de inscritos no exame de seleção é:
- 350 (correct)
- 125
- 295
- 425

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Grandezas Proporcionais

Em nosso cotidiano, é comum ouvirmos frases como “quanto mais você estudar melhor será sua nota” ou “se você correr mais rápido, menor será seu tempo”. Na realidade, estamos relacionando grandezas, e essa relação pode ser entendida como proporcionalidade.

Essa proporcionalidade pode ser conhecida como diretamente ou inversamente proporcional.

Vejamos um exemplo:

Se um carro esportivo gasta 1 litro de gasolina para percorrer 5 km, quanto irá gastar para percorrer 10 km?

Figura 3 - Carro esportivo abastecendo

[Image: Carro esportivo em um posto de gasolina]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Nesse exemplo, a distância dobrou, logo, a quantidade de gasolina necessária para percorrer a distância irá dobrar também. Note que, à medida que aumentamos a distância a ser percorrida pelo automóvel, o número de litros de gasolina que devemos colocar no tanque também aumenta.

Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma razão da primeira.

Vejamos um exemplo:

Um supermercado faz uma promoção de ovos de Páscoa, e Karina, que sempre faz suas compras com dinheiro, pretende comprar vários ovos para presentear seus familiares e amigos. Nessa situação, a quantidade de ovos que Karina irá comprar é diretamente proporcional ao dinheiro que ela levou ao supermercado, ou seja, quanto mais dinheiro tiver maior será a quantidade de ovos de Páscoa que ela irá levar para casa.

Figura 4 - Uma garota com cesta de ovos de páscoa

[Image: Garota com cesta de ovos de Páscoa]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira ou se diminuirmos uma grandeza, a outra aumenta.

Vejamos um exemplo:

Uma pequena fábrica de bonés possui uma certa quantidade de funcionários que produzem 1.000 bonés em um dia de trabalho. Recentemente, o dono da fábrica contratou mais alguns funcionários, aumentando a sua equipe de trabalho, e percebeu que para produzir 1.000 bonés, a nova equipe levou menos tempo. Isto evidencia que essas grandezas, número de funcionários e horas de trabalho são inversamente proporcionais.

Figura 5 - Representação da produtividade de uma fábrica de bonés

[Image: Linha de produção de bonés]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Atividade 2 Unidade 2

Q: (IFRN 2022) O texto 1 comenta que, de acordo com o Conselho Indigenista Missionário (Cimi), somente na terra indígena (TI) de Munduruku existem mais de 500 garimpos ilegais. Sabendo que a TI de Munduruku tem, aproximadamente, 2.400.000 hectares, se considerarmos o número exato de 500 garimpos ilegais, com 100 garimpeiros em cada garimpo, a densidade demográfica, em habitantes por hectare, dos garimpeiros na terra indígena de Muduruku é de
- \( \frac{5}{240} \) (correct)
- \( \frac{5}{24} \)
- \( \frac{5}{2400} \)
- \( \frac{5}{24000} \)

Q: (IFRN 2025) Considere que, durante uma revisão de conteúdo para as provas, um estudante participou de um simulado online com 25 questões. Ele chutou 15 das questões, acertando 6 delas. A razão entre o número de acertos das questões que ele chutou e o total de chutes dados pelo estudante é
- 2/5 (correct)
- 3/5
- 5/2
- 6/25

Q: (IFRN 2025) Considere que uma escola está monitorando o cumprimento da nova política que proíbe o uso de celulares durante as aulas. Em uma pesquisa com 150 alunos, foi constatado que 30 deles estavam usando celulares durante as aulas, apesar da proibição. A escola deseja estimar quantos alunos estariam usando celulares em um total de 2000 alunos. Considerando a mesma proporção da pesquisa, a estimativa de alunos que usariam celulares durante as aulas é
- 400. (correct)
- 600.
- 500.
- 300.

Q: (IFRN 2025) Segundo o Texto 1, de cada 10 pessoas, 8 são a favor de proibir o uso de celulares em escolas do Rio. Suponha que essa proporção foi obtida a partir de uma pesquisa realizada com 2450 pessoas. Nessa pesquisa, o número de pessoas que se manifestaram contra a proibição foi de
- 490 (correct)
- 800
- 1600
- 1960

Q: (IFRN 2024) Como lembrança da Cúpula da Amazônia, uma empresa entregou uma miniatura retangular do parque estadual Mangal das Garças. Sabendo que essa miniatura tinha dimensões de 2cm de comprimento por 8cm de largura e que foi feita numa escala de 1:5000, a área real do mangal das garças, que foi representada, em \( m^2 \), na miniatura é
- 40.000 (correct)
- 30.000
- 25.000
- 35.000

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Regra de três simples e composta

Para um entendimento ainda mais aprofundado sobre o conceito de regra de três, confira o vídeo disponível na seção abaixo.

Sem título Astro Video Link

Sem audiodescrição

Com audiodescrição

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A regra de três é um procedimento matemático utilizado na resolução de questões que envolvem grandezas proporcionais. Há dois tipos de regra de três: Simples e Composta.

Regra de três simples

A regra de três simples deve ser utilizada quando temos apenas duas grandezas proporcionais envolvidas na questão.

Vejamos alguns exemplos:

1) O litro da gasolina numa cidade custa R$ 7,00. Hércules resolveu comprar uma Kombi, e no seu manual continha a informação que a capacidade do tanque é de 45 litros. Estando o tanque completamente seco, quanto Hércules gastará para encher esse tanque?

Figura 6 - Representação Kombi

[Image: Desenho de uma kombi]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Repare que neste exemplo, 1 litro de gasolina está para R$ 7,00, então 45 litros estará para quantos reais? Então podemos montar a seguinte proporção:

\( \frac{1}{7}=\frac{45}{x} \)

Utilizando as propriedades estudadas, podemos encontrar o valor de x, que corresponde ao valor gasto para encher o tanque da Kombi.

\( \frac{1}{7}= \frac{45}{x} \)

\( 1\cdot x=45\cdot 7 \)

\( x=315 \)

Logo, Hércules irá gastar R$ 315,00 para encher o tanque da sua Kombi.

No exemplo 1, mostramos que a regra de três é uma proporção entre duas grandezas; entretanto, para resolver qualquer questão de regra de três simples, devemos seguir os seguintes passos:

1º) Leia a questão anotando as grandezas e seus respectivos valores.

2º) Analise se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Efetue a multiplicação dos termos conforme o resultado da análise, seguindo o esquema abaixo:

Sem título Text

Grandezas diretamente proporcionais | Grandezas inversamente proporcionais

Figura 7 - Grandeza diretamente e inversamente proporcional

[Image: Grandezas diretamente proporcionais e Inversamente proporcionais]

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Fonte: gerada por inteligência artificial com ChatGPT (OpenAI), 2025.

Então como ficaria o exemplo 1 utilizando essa modelagem. Nesse exemplo, as grandezas são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o tanque maior será o total gasto no posto de combustível. Logo iremos multiplicar os valores “em cruz”.

Sem título Text

Litros         Valor(R$)

1             7,00

X

45              x

\( 1\cdot x = 45 \cdot 7 \)

\( x = 315 \)

Sem título Text

2) Após encher o tanque da Kombi, Hércules resolveu surfar na praia da Pipa, que fica distante 85 km de Natal, local onde Hércules reside. Hércules, que é um motorista muito prudente, costuma não correr em suas viagens e foi para Pipa numa velocidade média de 85 km/h, gastando, portanto, 1 hora para chegar em Pipa. Durante a viagem, ele e seus amigos estavam conversando e, num dado instante, Alexandre disse:

“Já imaginou se existisse um trem bala, que faz suas viagens numa velocidade média de 170km/h, em quanto tempo poderíamos chegar em Pipa?”

Figura 8 - Trem bala

[Image: Trem bala indo para praia de Pipa]

Sem título Text

Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Nessa situação as grandezas envolvidas são velocidade e tempo, que são inversamente proporcionais. Logo vamos multiplicá-las “na mesma linha”.

Velocidade       Tempo (horas)

85      ----  1

170     ----       x

\( 170\cdot x=85\cdot 1 \)

  \( x=\frac{85}{170} \) simplificando a fração por 85, obtemos

\( x=\frac{1}{2} \)

Isso quer dizer que eles iriam gastar metade do tempo para chegar em Pipa, ou seja, em 30 minutos eles fariam a viagem.

Sem título Text

Regra de três composta

A regra de três composta deve ser utilizada quando temos mais de duas grandezas proporcionais envolvidas na questão. A resolução é ligeiramente parecida, mas, é claro, temos alguns detalhes a mais no processo.

Vamos utilizar um exemplo e descrever todos os passos para resolução.

1) Uma empresa de administração de condomínios pretende pintar os muros por trás das casas do condomínio, todos têm a mesma dimensão. Sabendo que 4 pintores levariam 8 dias para pintar 6 muros, quanto tempo 8 pintores, com o mesmo ritmo de trabalho, levariam para pintar 18 muros?

1º) Leia a questão anotando as grandezas e seus respectivos valores.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

Muros

4

8

6

x

18

Sem título Text

2º) Coloque uma seta, pode ser para cima ou para baixo, na grandeza que possui a incógnita x.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

Muros

4

8 \( \uparrow \)

6

8

x

18

Sem título Text

3º) Analise se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, sempre de duas em duas, e em relação à grandeza que possui a incógnita (x). Se for diretamente proporcional, você coloca uma seta no mesmo sentido, se for inversamente proporcional você deverá colocar uma seta no sentido contrário da incógnita.

Vamos analisar as grandezas, de duas em duas:

Pintores e Dias são inversamente proporcionais, então as setas serão contrárias.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

4 \( \downarrow \)

8 \( \uparrow \)

8

x

Sem título Text

Dias e Muros são diretamente proporcionais, então as setas serão no mesmo sentido.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Dias

Muros

8 \( \uparrow \)

6 \( \uparrow \)

x

18

Sem título Text

Daí ficamos:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

Muros

4 \( \downarrow \)

8 \( \uparrow \)

6 \( \uparrow \)

8

x

18

Sem título Text

4º) Após analisar todas as grandezas, para montar nossa equação, devemos inverter as razões que são inversamente proporcionais.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

Muros

8 \( \uparrow \)

6 \( \uparrow \)

4

x

18

Sem título Text

5º) A razão que possui a incógnita ficará no primeiro membro da equação e as demais razões serão multiplicadas entre si no segundo membro da equação.

\( \frac{8}{x}=\frac{8}{4}\cdot \frac{6}{18} \)

\( \frac{8}{x}=\frac{48}{72} \)

\( 48x=8\cdot 72 \)

\( x=\frac{576}{48} \)

\( x=12 dias \)

Fique atento a informação abaixo!!!

Você pode simplificar a montagem e resolução dessa equação. Quando você completar o 4º passo, ou seja, já tiver analisado as grandezas e todas as setas já estiverem na mesma direção, então, para montar a equação, você poderá, em cima da incógnita (x), traçar uma cruz. Nesse caso, os números que estão sobre a cruz ficarão no numerador, e os demais ficarão no denominador. Observe:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Pintores

Dias

Muros

8 \( \uparrow \)

6 \( \uparrow \)

̶4̶

̶x̶

̶1̶8̶

Sem título Text

\( x=\frac{4\cdot 8\cdot 18}{8\cdot 6} \)

perceba que podemos simplificar a fração

\( x=\frac{4\cdot  ̶8̶\cdot 3\cdot  ̶6̶}{ ̶8̶\cdot  ̶6̶} \)

\( x=4\cdot 3 \)

\( x=12 \) dias

Atividade 3 Unidade 2

Q: (IFRN 2024) Para montar uma das estruturas da cúpula da Amazônia, uma empresa sabe que se 6 de seus trabalhadores trabalharem 8 horas por dia, durante 5 dias, finalizam a estrutura. Precisando finalizar essa estrutura em 2 dias, se seus funcionários trabalharem 10 horas por dia, mantendo o mesmo ritmo de trabalho, será necessário:
- contratar mais 6 trabalhadores. (correct)
- contratar mais 4 trabalhadores.
- contratar mais 8 trabalhadores.
- contratar mais 2 trabalhadores.

Q: (IFRN 2025) Durante uma semana (7 dias), um monitoramento revelou que um estudante passou 14 horas e 30 minutos em frente ao celular e ao computador. Preocupado com o tempo excessivo, o estudante decidiu estimar quanto tempo ele passaria em frente a essas telas durante um período de três meses (90 dias). Utilizando a mesma proporção, o tempo aproximado que o estudante passaria em frente ao celular e ao computador em três meses é:
- 7 dias, 18 horas e 26 minutos. (correct)
- 186 dias, 10 horas e 17 minutos.
- 18 dias, 7 horas e 21 minutos.
- 6 dias, 15 horas e 28 minutos.

Q: (IFRN 2024) Um membro da comitiva francesa notou que o avião que o traria para a Cúpula da Amazônia, em Belém, levaria 11h36min de voo a uma velocidade média de 625km/h. Dessa forma, ele deduziu que a distância da França a Belém era de:
- 7250 km. (correct)
- 8000 km.
- 7750 km.
- 8250 km.

Q: (IFRN 2024) Um estudo realizado por um engenheiro florestal identificou que para reflorestar uma certa área desmatada da Amazônia, seriam necessários 36 homens, trabalhando no mesmo ritmo durante 25 dias. Para realizar o mesmo trabalho, em apenas 20 dias, aplicando o mesmo ritmo de trabalho, seriam necessários um total de:
- 45 homens. (correct)
- 40 homens.
- 42 homens.
- 43 homens.

Q: (IFRN 2019) Uma das alternativas que os refugiados usam para chegar ao Velho Continente é por meio de embarcações superlotadas. Admitindo-se que uma embarcação deve comportar uma pessoa a cada 3\( m^2 \), um barco com 12 m de comprimento por 4 m de largura poderia, no máximo, levar:
- 16 pessoas. (correct)
- 20 pessoas.
- 18 pessoas.
- 14 pessoas.

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Porcentagem

A porcentagem é um conceito matemático muito presente no nosso dia a dia. Embora muitas vezes não percebamos, ela está em várias situações cotidianas, como quando fazemos compras, calculamos descontos, vemos as notas de uma prova, ou até mesmo quando olhamos as estatísticas de um time de futebol ou as pesquisas eleitorais. Mas, afinal, o que é porcentagem?

A porcentagem é uma maneira de expressar uma parte de um total. É representada pelo símbolo %. Quando dizemos que algo representa "30%", por exemplo, estamos dizendo que ele é 30 partes de um total de 100. Ou seja, a palavra "porcentagem" vem de "por cento", que significa "por 100".

Em termos simples:

- 100% representa o total de algo, a quantidade inteira.
- 50% representa metade desse total.
- 25% representa um quarto do total.

Há três formas de representar uma porcentagem: percentual, fracionária e decimal.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Forma Percentual

Forma Fracionária

Forma Decimal

5%

\( \frac{5}{100} \)

0,05

10%

\( \frac{10}{100} \)

0,1

120%

\( \frac{120}{100} \)

1,2

250%

\( \frac{250}{100} \)

2,5

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Como calcular a porcentagem?

Existem algumas maneiras para calcularmos a porcentagem. Vamos mostrar três formas distintas:

- Regra de três simples;
- Utilizando a forma fracionária;
- Utilizando a forma decimal.

Vejamos alguns exemplos:

1) Uma camisa custa R$ 90,00, e apenas hoje estará com um desconto de 30% se for comprada no site. João não quer perder essa oportunidade, mas como ele é curioso, gostaria de saber qual o valor em reais desse desconto?

Sem considerar o contexto, queremos calcular 30% de 90. Vamos mostrar as três maneiras de resolução:

1ª) Podemos montar uma regra de três, onde 90 corresponde ao total, ou seja, 100%, daí:

Figura 8 - Regra de três entre valor e porcentagem

[Image: regra de 3]

Sem título Text

Fonte: gerada por inteligência artificial com ChatGPT (OpenAI), 2025.

\( 100x=90\cdot 30 \)

\( x=\frac{2700}{100} \)

\( x=27 \)

2ª) Vamos utilizar agora a forma fracionada, escrevendo 30% em forma de fração:

\( \frac{30}{100}\cdot 90=\frac{2700}{100}=27 \)

3ª) Toda fração pode ser escrita em forma de número decimal. Nisso, devemos saber que \( \frac{30}{100}=0,3 \), logo:

\( 0,3 \cdot 90=27 \)

Independente da maneira escolhida, o valor do desconto foi de R$ 27,00

Sem título Astro Card

Para encontrar a porcentagem que um número representa de outro, basta você dividir o primeiro número pelo segundo e depois multiplicar por 100. Por exemplo:
O valor de uma dívida era R$ 200,00, Francisco pagou antecipadamente e obteve um desconto de R$ 30,00. Em termos percentuais, quanto foi esse desconto?
Nessa situação queremos calcular que porcentagem 30 representa em relação a 200, para isso basta dividir o primeiro número, 30, pelo segundo, 200, e em seguida multiplicar por 100.
\( \frac{30}{200}\cdot 100=15\% \)

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2) O imposto de renda é um tributo que existe em vários países. Nele, cada contribuinte, podendo ser uma pessoa física ou uma pessoa jurídica, paga certa quantia para o governo calculada sobre a renda total do contribuinte. Veja, a seguir, uma tabela que mostra a porcentagem paga pelo contribuinte de acordo com os seus ganhos mensais:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Até R$ 1903,98

Isento

De R$ 1903,99 - R$ 2826,65

7,5%

De R$ 2826,66 - R$ 3751,05

15%

De R$ 3751,06 - R$ 4664,68

22,5%

Sem título Text

Se uma determinada pessoa recebe o valor de R$ 3540, então ela pagará de imposto de renda mensalmente um total de:

A) R$ 354

B) R$ 531

C) R$ 622

D) R$ 690

E) R$ 723

Como a pessoa recebe R$ 3.540, ela se enquadra na 3ª faixa, que compreende valores entre R$ 2.826,66 até R$ 3.751,05, logo o percentual pago será de 15%. Então queremos calcular 15% de 3.540, que será:

\( \frac{15}{100}\cdot 3540=\frac{5310}{10}=531 \)

Portanto, a resposta é a letra B, R$ 531,00.

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Fator multiplicador para aumento e desconto percentual

Podemos calcular de forma mais rápida aumentos e descontos percentuais, utilizando um fator multiplicador. Vamos utilizar um exemplo para demonstrar a existência desse fator e chegarmos a uma conclusão final.

1º) Aumento percentual

Uma prestação de R$ 120,00 foi paga com atraso, e sofreu uma multa de 15%, então qual foi o valor pago dessa prestação?

Vamos fazer em etapas:

1º) Calcular 15% de 120.

\( \frac{15}{100}\cdot 120=18 \)

2º) Somar a prestação com a multa e obter o resultado.

\( 120+18=138 \)

Note que podemos fazer essas duas etapas numa única operação, afinal queremos somar a prestação com a multa para obter o valor a ser pago.

\( 120+\frac{15}{100}\cdot 120 \)

Colocando 120 em evidência e escrevendo a fração em forma de número decimal.

\( 120(1+0,15) \)

\( 120\cdot 1,15 \)

      \( 138 \)

Então, para chegar ao valor da prestação com multa, basta multiplicar o valor inicial, 120, pelo fator 1,15 e obter a resposta, 138. Perceba nisso que a parte decimal corresponde exatamente ao valor percentual da multa.

\( 120(1+0,15) \)

Valor inicial | Porcetagem

Vamos então escrever essa conclusão de uma maneira não trivial, para que você consiga memorizar mais facilmente.

\( Valor\cdot (1+0,\%) \)

\( Valor1\cdot ,\% \)

2º) Desconto percentual

De maneira semelhante podemos aplicar um desconto a um valor qualquer, e para tal vamos agora utilizar a nossa regra prática, lembrando que antes, ao calcularmos um aumento, nós somamos o valor percentual. Agora, vamos calcular um desconto, logo iremos subtrair o valor percentual.

\( Valor\cdot (1-0,\%) \)

Por exemplo:

Descontando 20% de 300 ficaremos:

\( 300\cdot (1-0,20) \)

\( 300\cdot (0,80) \)

     \( 240 \)

Perceba que retiramos 20%, daí a subtração \( 1-0,20 \).

Vamos fixar melhor essa regra, completando o quadro abaixo:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Operação Matemática

Significado Percentual

\( 42\cdot 1,58 \)

Aumento de 58% sobre 42

\( 930\cdot 0,70 \)

Desconto de 30% sobre 930

\( 564\cdot 1,35 \)

Aumento de 35% sobre 564

\( 120\cdot 0,95 \)

Desconto de 5% sobre 120

\( 380\cdot 1,03 \)

Aumento de 3% sobre 380

Sem título Text

Você percebeu que, no fator multiplicador do aumento, a parte inteira é o número 1, e no desconto a parte inteira é 0.

Uma aplicação muito interessante para os fatores é quando precisamos calcular aumento e/ou descontos sucessivos.

Vejamos um exemplo:

Uma determinada ação da bolsa de valores sofreu no mês de janeiro uma valorização de 6%, isto é, aumentou em 12% seu valor. No mês de fevereiro aconteceu outra valorização, agora de 9%; entretanto, no mês de março sofreu uma queda (desvalorização) de 15%. Ao final do trimestre, como ficou o desempenho dessa ação?

   a) Teve uma valorização de 6%

   b) Teve uma desvalorização de 5,2%

   c) Teve uma desvalorização de 6%

   d) Teve uma valorização de 3,7%

   e) Teve uma valorização de 0,37%

Utilizando os fatores multiplicadores de aumento e desconto de maneira sucessiva, obtemos:

\( Ação\cdot 1,12\cdot 1,09\cdot 0,85 \)

\( Ação\cdot 1,03768 \)

Como a parte inteira é 1, já sabemos que houve um aumento; portanto, uma valorização. Mas de quanto foi?

Observando a parte decimal 0,03768, temos que o primeiro algarismo representa a dezena, o segundo a unidade e os demais formam a parte decimal do aumento percentual. Vamos indicar cada termo:

0,03768

Dezena | Unidade | Parte Decimal

Então chegamos à conclusão de que houve uma valorização de 3,768%; portanto, a alternativa correta é a letra D.

Quando um produto sofre um aumento de 100%, isto significa que seu valor dobra, então, o fator multiplicador é 2.

Por exemplo, se um produto custa R$ 420, vamos calcular alguns aumentos:

1. Aumento de \( 50\% \rightarrow 420\ast 1,50=630 \)
2. Aumento de \( 82\%\rightarrow 420\ast 1,82=764,40 \)
3. Aumento de \( 100\%\rightarrow 420\ast 2=840 \)   Observe que o valor dobrou.
4. Aumento de \( 115\%\rightarrow 420\ast 2,15=903 \)
5. Aumento de \( 200\%\rightarrow 420\ast3=1260 \)

Atividade 4 Unidade 2

Q: (IFRN 2025) Para promover o uso consciente de tecnologia na sala de aula e reduzir a dependência de celulares, uma escola comprou 30 tablets educativos. O preço unitário de cada tablet era de R$ 200,00, mas a escola obteve um desconto de 55%. O valor total investido na compra dos tablets foi de
- R$2.700,00. (correct)
- R$3.300,00.
- R$3.000,00.
- R$6.000,00.

Q: (IFRN 2025) Em uma instituição de ensino do Rio de Janeiro, há um total de 780 alunos. 135 desses alunos são do ensino fundamental, 345 são do ensino médio e os demais são do ensino superior. Sabendo que 17% dos alunos do ensino superior são favoráveis à proibição do uso de celulares, a quantidade de alunos do ensino superior não favoráveis à proibição é de
- 249. (correct)
- 51.
- 96.
- 300.

Q: (IFRN 2025) Considere o trecho a seguir para resolver a questão.

“Rio proíbe celulares nas escolas até no recreio”, medida veio depois de uma consulta pública, aberta em dezembro, na qual 83% dos participantes manifestaram concordância com a restrição.

A fração que mais se aproxima desse percentual é:
- 2530 (correct)
- 732900
- 741900
- 2430

Sem título Text

Para um entendimento ainda mais aprofundado sobre esses conceitos, confira o vídeo de soluções disponível na seção abaixo.

Sem título Astro Video Link

Sem audiodescrição

Com audiodescrição

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Explorando um novo mundo matemático

Imagine que você é um explorador em busca de um tesouro escondido. Para encontrá-lo, você recebe um mapa especial, mas em vez de montanhas e rios, ele tem linhas horizontais e verticais com pontos marcados. Cada ponto tem um "endereço" exato, composto por dois números. Esse mapa nada mais é do que um Sistema de Coordenadas Cartesianas, uma ferramenta poderosa usada não apenas para encontrar tesouros, mas também para estudar matemática, criar gráficos e até desenvolver videogames!

Figura 9 - Mapa do tesouro

[Image: Mapa do tesouro]

Sem título Text

Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Desvendando o plano cartesiano

O que é o Sistema de Coordenadas Cartesianas?

O sistema foi criado pelo matemático francês René Descartes no século XVII. Ele percebeu que qualquer ponto em um plano poderia ser representado por um par de números, chamados de coordenadas (x, y).

Figura 10 - Imagem de Rene Descartes

[Image: Imagem René Descartes]

Sem título Text

Fonte: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frans_Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg#Licensing

Elementos do Plano Cartesiano

1. Eixo X (horizontal): Representa os valores da coordenada x. Também chamado de Eixo das Abscissas.
2. Eixo Y (vertical): Representa os valores da coordenada y. Também chamado de Eixo das Ordenadas.
3. Origem (0,0): O ponto onde os dois eixos se encontram.
4. Quadrantes: São as quatro regiões nas quais o plano foi dividido pelos eixos. Os quadrantes são chamados de 1° quadrante, 2° quadrante, 3° quadrante e 4° quadrante e são dispostos conforme mostra a figura abaixo:

Figura 11 - Plano cartesiano

[Image: Plano cartesiano com 4 quadrantes]

Sem título Text

Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Figura 12 - Plano cartesiano com pontos (3,2)

[Image: Um plano cartesiano básico com eixos rotulados e o ponto (3, 2) destacado]

Sem título Text

Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Note que o ponto (3, 2) pertence ao 1° quadrante do plano.

Aplicando o conhecimento: localizando pontos no plano

Para encontrar um ponto no plano cartesiano:

1. Primeiro, localize o valor de x no eixo horizontal.
2. Depois, suba ou desça até o valor correspondente de y.
3. Marque o ponto!

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Como a Matemática explica o mundo?

Uma situação do dia a dia

Imagine que você trabalha como entregador de um restaurante. Seu chefe te propõe um pagamento fixo de R$20 por dia, mais R$5 por cada entrega realizada. Você percebe que pode calcular rapidamente seu ganho diário dependendo da quantidade de entregas feitas. Mas como podemos representar essa situação de maneira matemática?

A resposta está no que vamos chamar de função. Vamos descobrir como esse conceito pode ser útil no nosso dia a dia.

Figura 13 - Um entregador com uma lista de pedidos e valores associados

Sem título Text

Fonte: gerada por inteligência artificial com ChatGPT (OpenAI), 2025.

Construindo um modelo matemático

Para representar esse problema matematicamente, podemos definir:

- x = número de entregas realizadas;
- y = valor total recebido no dia.

A relação entre essas variáveis pode ser escrita assim:

Isso significa que, a cada entrega feita, o valor total recebido aumenta em R$5, e mesmo sem entregas, o entregador já começa o dia com R$20 garantidos.

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O que é uma função afim?

Agora que criamos um modelo matemático, podemos falar sobre a função afim. Uma função afim é uma função real de variável real que tem a forma geral \( y=ax+b \), onde:

- a é o coeficiente angular (indica a inclinação da reta);
- b é o coeficiente linear (indica o ponto onde a reta cruza o eixo Y).

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O papel do coeficiente angular

O coeficiente a determina a taxa de variação da função:

- Se a > 0, a função cresce (como no nosso exemplo do entregador).
- Se a < 0, a função decresce (como uma conta que perde saldo todo dia).
- Se a = 0, a função é constante (não há variação no resultado).

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O papel do coeficiente linear

O coeficiente b define onde a função começa no eixo Y. No exemplo do entregador, b = 20, pois esse é o valor inicial, antes de qualquer entrega ser feita.

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O gráfico da função afim

A função afim sempre gera uma reta no plano cartesiano. Para construir esse gráfico:

1. Escolhemos alguns valores de x.
2. Calculamos os valores correspondentes de y.
3. Marcamos os pontos no plano.
4. Traçamos uma reta que passa por eles.

Interpretando gráficos na prática

Os gráficos das funções afins são ferramentas poderosas. Podemos usá-los para prever valores, entender tendências e resolver problemas.

Exemplo: Se queremos saber quanto o entregador ganhará após 10 entregas, basta localizar x = 10 no gráfico e verificar o valor correspondente de y.

Exercícios para fixação

1. Imagine que um táxi cobra R$ 4,00 de bandeirada mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. Escreva a função que representa esse valor.
2. Encontre alguns pontos da função afim f(x) = 3x + 10 no plano cartesiano e desenhe a reta.

Analise a função g(x) = -2x + 15 e explique seu comportamento.

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Matemática financeira

A Matemática Financeira está presente no nosso dia a dia, desde o momento em que calculamos descontos em uma loja até quando planejamos economizar dinheiro para o futuro. Neste material, você aprenderá sobre porcentagens, juros simples e compostos e como o sistema de capitalização funciona. Vamos juntos explorar esses conceitos com exemplos práticos!

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Isa

Oi, amigo! Me tira uma dúvida, por favor? … Não sei se eu te disse, mas tô ajudando minha tia com as redes sociais e ela tá me pagando 20 reais por mês. Eu queria juntar esse dinheiro, sabe? Aí eu combinei com painho de entregar o dinheiro pra ele guardar, e ele me disse que pagaria 0,5 por cento de juros simples por mês. Mas eu não entendi direito como calcular, você sabe algo sobre isso?

Que massa, Isa! Olha, a ideia é bem legal, e é fácil calcular quanto você vai ganhar. A gente vai usar a fórmula de juros simples, que é o capital inicial, os 20 reais, vezes a taxa, que é 0,5 por cento, e o tempo que você vai deixar esse dinheiro sem mexer, que é um mês, né?

Eu vou deixar com ele uns três meses, se der tudo certo…

Entendi! Tá, então vamos multiplicar os 20 reais, por 0,5 dividido por 100. Isso vai dar 0,10 centavos de lucro por mês. Se você deixar esse dinheiro parado nos três meses, vai juntar 60 reais e 30 centavos.
Parece pouco dinheiro agora, mas imagina se você deixar o dinheiro guardado por mais tempo e ainda for colocando mais? Vai ver como o valor vai crescer!

Tá certo, Igor! Vou falar aqui com painho! Valeu por explicar, beijo!

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Cálculo de porcentagens

A porcentagem é uma forma de expressar uma parte de um todo, dividida em 100 partes iguais. O símbolo usado para representar porcentagem é o "%".

Como calcular porcentagens?

Existem três formas principais de calcular porcentagens:

1. Usando fração: Como "25%" significa "25/100", podemos fazer a multiplicação direta.
2. Usando decimal: Convertendo a porcentagem para decimal, dividindo por 100. Por exemplo, 25% = 0,25.
3. Regra de três: Utilizando proporção para encontrar o valor equivalente.

Exemplos práticos

Exemplo 1: compras e descontos

Se uma camisa custa R$50,00 e está com um desconto de 20%, qual será o preço final?

Cálculo:

- Passo 1: Calcular 20% de R$ 50,00.
- Passo 2: Subtrair do valor original.

Exemplo 2: aumento salarial

Um funcionário ganha R$ 2.000,00 e recebe um aumento de 13%. Quanto será seu novo salário?

Cálculo:

- Passo 1: Calcular 13% de R$ 2.000,00.
- Passo 2: Somar ao valor original.

Exemplo 3: notas escolares

Se uma prova vale 80 pontos e um aluno precisa de 75% para passar, quantos pontos ele deve fazer?

Cálculo:

- Passo 1: Calcular 75% de 80.

O aluno precisa de 60 pontos para ser aprovado.

Agora tente você! Se um videogame custa R$ 1.200,00 e está com 15% de desconto, quanto você pagará?

Juros simples, montante e capital

Os juros simples são calculados sobre o valor inicial (capital) durante um período determinado.

Como deduzimos a fórmula de juros simples?

Imagine que você emprestou R$1.000,00 a um amigo e combinou que ele pagaria um acréscimo de 5% ao mês pelo uso do dinheiro. Vamos analisar o crescimento do valor ao longo dos meses.

- No primeiro mês, os juros são 5% de R$ 1.000,00, ou seja, R$ 50,00.
- No segundo mês, os juros são novamente R$ 50,00.
- No terceiro mês, mais R$ 50,00, e assim por diante.

Note que os juros são sempre calculados sobre o valor inicial, e o total de juros acumulados aumenta linearmente. Se chamarmos:

- C de capital inicial (R$ 1.000,00),
- i de taxa de juros (5% ou 0,05),
- t de tempo (meses),
- J de juros acumulados,

Exemplo prático:

Maria investiu R$ 1.000,00 a uma taxa de 5% ao mês durante 3 meses. Quanto ela terá ao final?

Figura 14 - Uma garota com dúvida no investimento

[Image: Imagem de Maria com dúvida em seu investimento]

Sem título Text

Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Cálculo: J=R$ 1.0000,05x3=R$ 150

Logo, o montante M será de: M=R$1.000+R$150=R$1.150,00

Algarismos significativos e notação científica

Descobrindo o valor dos algarismos significativos

Você já percebeu que, ao medir algo, a precisão é muito importante? Por exemplo, quando você mede o comprimento da sua mesa e encontra 1,20 metros, por que escrevemos exatamente assim, com esses algarismos específicos?

Chamamos esses números importantes de "Algarismos Significativos". Eles mostram a precisão de uma medida.

Figura 15 - Um aluno medindo uma mesa com uma fita métrica

[Image: um aluno medindo uma mesa com uma fita métrica com tamanho de 1,20 m]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Entendendo os algarismos significativos

O que são algarismos significativos?

Algarismos significativos são todos aqueles que trazem alguma informação real sobre uma medida ou valor calculado. Vamos às regras básicas sobre eles:

- Todo número diferente de zero é significativo (Exemplo: 123 tem 3 algarismos significativos).
- Zeros entre números não-nulos são significativos (Exemplo: 205 tem 3 algarismos significativos).
- Zeros à esquerda não são significativos (Exemplo: 0,0023 tem 2 algarismos significativos).
- Zeros à direita são significativos apenas quando aparecem após a vírgula (Exemplo: 1,20 tem 3 algarismos significativos).

Figura 16 - Diagrama de algarismos significativos

[Image: Diagrama algarismo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Introdução à notação científica

Simplificando números com a Notação Científica

A notação científica é uma maneira de escrever números muito grandes ou muito pequenos de forma simples. Ela é escrita no formato: \( a\cdot 10^n \)

- Onde a é um número maior ou igual a 1 e menor que 10;
- n é um número inteiro positivo ou negativo.

Por exemplo:

- \( 2000=2\cdot 10^3 \)
- \( 0,005=5\cdot 10^-3 \)
- \( 0,0000000361=3,61\cdot 10^-8 \)

Figura 17 - Notação cientifica

[Image: Notação científica]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

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Para um entendimento ainda mais aprofundado sobre esses conceitos, confira os vídeos disponíveis nas seções abaixo.

Sem título Astro Card

Razões equivalentes: são divisões cujo resultado é igual. Ex: \( \frac{10}{2}=\frac{15}{3}=\frac{45}{9} \)
Pessoa prudente: é uma pessoa cuidadosa.
Diferença entre sentido e direção: o termo “Direção” está ligado à posição horizontal, vertical, norte, sul. Já o termo “Sentido” refere-se à orientação: da direita para esquerda, de cima para baixo.
Unidade de medida: padrão usado para medir grandezas, como metros, litros ou quilos.
Tabela proporcional: representação organizada de valores em uma regra de três.
Conversão de unidades: transformação de uma unidade para outra (ex: km para m).
Estimativa proporcional: cálculo aproximado baseado em proporções conhecidas.
Escala cartográfica: razão utilizada em mapas para representar distâncias reais.
Margem de lucro: diferença percentual entre o custo e o preço de venda.
Imposto sobre produto: percentual cobrado sobre o valor de um bem ou serviço.
Índice de inflação: medida percentual do aumento geral dos preços.

Capítulo 3: Geometria plana e espacial

Sem título Card de Abertura

Ao final deste capítulo, você será capaz de compreender e aplicar os conceitos de retas paralelas e perpendiculares, além de calcular volumes de sólidos geométricos como prismas, cilindros, pirâmides, cones e esferas. Aprenderá a identificar e utilizar o Teorema de Tales para resolver problemas de proporções entre segmentos de retas paralelas cortadas por transversais. Também entenderá o Teorema de Pitágoras e sua aplicação em triângulos retângulos para calcular distâncias e alturas. Vamos nessa?

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Paralelismo e Perpendicularismo: Explorando as Retas no Mundo ao Nosso Redor

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Imagine que você está caminhando por uma cidade e observa as ruas, os trilhos de trem, as construções e as faixas de pedestres. Todas essas estruturas seguem padrões geométricos importantes, especialmente no que diz respeito às retas paralelas e perpendiculares. Mas o que significam esses conceitos e como eles aparecem no nosso dia a dia? Vamos descobrir!

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Retas Paralelas

Duas retas são chamadas de paralelas quando elas possuem a mesma direção e nunca se cruzam, independentemente do quanto sejam prolongadas. Uma maneira intuitiva de entender isso é imaginar duas linhas de trem: elas seguem lado a lado, mantendo sempre a mesma distância entre si. Essa característica garante que nunca haverá um ponto de interseção entre elas.

Confira exemplos de retas paralelas no cotidiano

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[Image: Estantes e prateleiras]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Esses exemplos mostram que o conceito de paralelismo não está apenas em problemas matemáticos, mas também em nosso dia a dia, ajudando a manter a ordem e a funcionalidade dos espaços que utilizamos.

Retas Paralelas Cortadas por uma Transversal

Quando uma reta transversal corta duas retas paralelas, um conjunto especial de ângulos é formado. Esses ângulos possuem relações importantes que ajudam na compreensão de padrões geométricos e na resolução de problemas matemáticos.

Figura 2 -Retas paralelas

[Image: Retas Paralelas Cortadas por uma Transversal]

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Fonte: Elaborada pela Diretoria de Educação à Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Classificação dos ângulos formados

Figura 3 - Classificação dos ângulos

[Image: Classificação dos ângulos formados]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Os ângulos podem ser classificados da seguinte maneira:

1. Ângulos correspondentes: estão na mesma posição relativa em relação às duas retas paralelas. Eles são sempre congruentes.

Na figura acima, os pares de ângulos correspondentes são:
\( (\hat{a},\hat{e}) \), \( (\hat{b},\hat{f}) \), \( (\hat{c},\hat{g}) \) e \( (\hat{d},\hat{h}) \).

1. Ângulos alternos internos: ficam “dentro das duas retas paralelas” e em lados opostos da transversal. Eles também são sempre congruentes.

Na figura acima, os pares de ângulos alternos internos são:

\( (\hat{c},\hat{e}) \) e \( (\hat{d},\hat{f}) \).

1. Ângulos alternos externos: estão “fora das duas retas paralelas” e em lados opostos da transversal. Eles também são congruentes.

Na figura acima, os pares de ângulos alternos externos são:
\( (\hat{a},\hat{g}) \) e \( (\hat{b},\hat{h}) \).

1. Ângulos colaterais internos: estão “dentro das retas paralelas” e no mesmo lado da transversal. Eles são sempre suplementares, ou seja, sua soma é 180°.

Na figura acima, os pares de ângulos colaterais internos são:

\( (\hat{c},\hat{f}) \) e \( (\hat{d},\hat{e}) \).

1. Ângulos colaterais externos: estão “fora das retas paralelas” e no mesmo lado da transversal. Eles também são sempre suplementares.

Na figura acima, os pares de ângulos colaterais externos são:

\( (\hat{a},\hat{h}) \) e \( (\hat{b},\hat{g}) \).

Retas Perpendiculares

Duas retas são chamadas de perpendiculares quando se cruzam formando um ângulo reto (90°). Esse tipo de relação é essencial na construção de espaços organizados e na engenharia, pois permite criar esquinas bem definidas e manter estruturas equilibradas.

Uma forma simples de visualizar a ideia de retas perpendiculares é observar o formato das esquinas das ruas em uma cidade planejada. Quando duas ruas se encontram e formam um cruzamento em ângulo reto, elas são perpendiculares entre si.

Confira exemplos de perpendiculares no cotidiano

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Aplicando no Mundo Real

Imagine um engenheiro projetando um cruzamento de ruas. Ele precisa garantir que algumas ruas sejam paralelas para organizar o trânsito e que outras sejam perpendiculares para formar esquinas bem definidas. Esse conhecimento é essencial em diversas áreas, como arquitetura, design e urbanismo.

Outro exemplo clássico está no design de jogos eletrônicos. Muitos jogos utilizam conceitos de geometria para construir cenários coerentes. O personagem pode andar sobre superfícies paralelas ou precisar virar em ângulos retos em determinados momentos.

Congruência e Semelhança de Figuras Planas

Congruência de Figuras Planas

O que é Congruência?

Dizemos que duas figuras são congruentes quando possuem o mesmo formato e o mesmo tamanho. Isso significa que, ao sobrepor uma figura sobre a outra, elas coincidem exatamente, sem nenhuma diferença de dimensão ou forma.

Exemplo:

- Os dois triângulos abaixo são congruentes, pois possuem os lados com mesma medida e também os ângulos com a mesma medida.

Note que:

Figura 5 - Triângulos congruentes

[Image: Dois triângulos congruentes]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

 \( & AB ≡ DE & \)                     \( \hat{A} \equiv \hat{D} \)

\( & AC ≡ DF & \)     e ainda    \( \hat{B}\equiv \hat{E} \)

\( & BC ≡ EF & \)                     \( \hat{C}\equiv \hat{F} \)

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Critérios de Congruência

Para determinar se duas figuras são congruentes, podemos verificar alguns critérios:

Triângulos

Os triângulos possuem três critérios de congruência principais:

1. Lado-Lado-Lado (LLL): Dois triângulos são congruentes se seus três lados correspondentes forem iguais.
2. Lado-Ângulo-Lado (LAL): Dois triângulos são congruentes se possuírem dois lados iguais, e o ângulo entre esses lados também for igual.
3. Ângulo-Lado-Ângulo (ALA): Dois triângulos são congruentes se possuírem dois ângulos iguais, e o lado entre eles também for igual.

Veja, respectivamente, as imagens dos três principais critérios de congruência:

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[Image: Triângulos LLL]

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[Image: Triângulos LAL]

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[Image: Triângulos ALA]

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Outros Polígonos

Para figuras que não sejam triângulos, como quadriláteros ou pentágonos, é necessário verificar se todos os lados e ângulos correspondentes são iguais.

Figura 7 - Comparando dois quadrados idênticos

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Propriedades da Congruência

A congruência possui algumas propriedades importantes:

- Reflexiva: Qualquer figura é congruente a si mesma.
- Simétrica: Se A é congruente a B, então B é congruente a A.
- Transitiva: Se A é congruente a B e B é congruente a C, então A é congruente a C.

Veja, respectivamente, as imagens das três importantes propriedades da congruência:

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[Image: Imagem demonstrando a propriedade Reflexiva da congruência]

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[Image: Imagem demonstrando a propriedade Simétrica da congruência]

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[Image: Imagem demonstrando a propriedade Transitiva da congruência]

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Semelhança de Figuras Planas

O que é Semelhança?

Duas figuras são semelhantes quando possuem o mesmo formato, mas podem ter tamanhos diferentes. Ou seja, uma figura pode ser uma versão ampliada ou reduzida da outra, mantendo as mesmas proporções.

Exemplo:

- Um triângulo com lados 3 cm, 4 cm e 5 cm é semelhante a um triângulo com lados 6 cm, 8 cm e 10 cm, pois as medidas dobraram proporcionalmente, fazendo com que os ângulos do triângulo não se alterem.

Figura 9 - Diagrama mostrando a relação entre figuras congruentes

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Critérios de Semelhança

Assim como na congruência, os triângulos possuem critérios específicos para determinar semelhança

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[Image: Critério de semelhança LLL]

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[Image: Critério de semelhança LAL]

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[Image: Critério de semelhança AA]

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Aplicações da Semelhança

A semelhança é usada em diversas situações do dia a dia, como:

- Mapas e maquetes, onde uma representação reduzida de um objeto maior é feita mantendo as proporções.
- Construção civil, para dimensionamento de estruturas baseadas em escalas.
- Fotografia e projeções, onde imagens são ampliadas ou reduzidas sem perder as proporções.

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[Image: Semelhança na construção civil]

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[Image: Semelhança na fotografia e projeções]

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[Image: Semelhança em Mapas e maquetes]

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Polígonos

Os polígonos estão presentes de muitas maneiras em nosso cotidiano. Podemos encontrá-los na arquitetura de prédios, nas placas de trânsito, nos ladrilhos de pisos e até mesmo em objetos como mesas e telas de dispositivos eletrônicos. Mas você já parou para pensar o que é um polígono e por que seu estudo é importante?

Entender os polígonos ajuda a desenvolver o raciocínio geométrico, facilitando a resolução de problemas que envolvem áreas e perímetros. Além disso, o estudo dos polígonos contribui para a base do conhecimento em diversas áreas, como a engenharia, a arquitetura, a arte e o design. Então vamos explorar juntos o que são polígonos, conhecer seus elementos e suas propriedades!

Linha Poligonal.

É uma figura geométrica formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares.

Linha Poligonal Aberta

Figura 12 - Exemplo de linha poligonal aberta

[Image: Linha Poligonal Aberta]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Linha Poligonal Fechada

Figura 13 - Exemplo de linha poligonal fechada

[Image: Linha Poligonal Fechada]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Polígonos

São figuras planas delimitadas por uma linha poligonal fechada. Ou seja, é a região interna de uma linha poligonal fechada. Um polígono possui os seguintes elementos:

Figura 14 - Elementos de um polígono

[Image: Polígono e suas especificações]

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Fonte: https://apppublico.com.br/educacao

- Vértice: Ponto de intersecção entre dois lados consecutivos. Na figura, os vértices são representados por A, B, C e D.
- Lado: Segmento de reta que une dois vértices consecutivos. Na figura, os lados são representados pelos segmentos AB, BC, CD e DA.
- Diagonal: Segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. Na figura, temos apenas duas diagonais, representadas pelos segmentos AC e DB.
- Ângulo interno: Região interna delimitada por dois lados consecutivos. Na figura, temos quatro ângulos internos: A, B, C e D.
- Ângulo externo: Região externa delimitada por um lado e o prolongamento do lado consecutivo. Na figura, destacamos um de seus ângulos externos, nomeado pela letra grega (Beta).

O polígono é uma figura geométrica que não possui curvas. A seguir, temos algumas figuras geométricas que não são polígonos.

Figura 15 - Figura que não são polígonos

[Image: Figuras geométricas que não são polígonos]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Nomenclatura dos Polígonos

Os polígonos são nomeados de acordo com o número de lados que possuem, a seguir vamos mostrar os nomes dos polígonos mais comuns, ou seja, os que aparecem com maior frequência nas questões. Note que só é possível desenhar um polígono a partir de três lados.

Sem título Tabela Visual com Scroll

N° de lados

Polígonos

1

Não existe

2

3

Trângulo

4

Quadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

13

Tridecágono

14

Tetradecágono

15

Pentadecágono

20

Icoságono

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Classificação dos Polígonos

Os polígonos podem ser classificados levando em consideração algumas características:

- Quanto à abertura dos ângulos internos.

Polígono convexo – Possui todos os ângulos internos menores que 180°.

Figura 16 - Exemplo de polígonos convexos

[Image: Dois polígonos com ângulos internos menores que 180°]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Polígono côncavo ou não convexo – Possui um ou mais ângulos internos maiores que 180° e menores que 360°.

Figura 17 - Exemplo de polígonos côncavos

[Image: Dois polígonos com ângulos internos maiores que 180° e menores que 360°]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

- Quanto à congruência de lados e ângulos.

Polígono regular – Possui todos os lados e ângulos congruentes entre si.

Todo polígono regular é nomeado de acordo com o número de lados que possui acompanhado da palavra “regular” conforme alguns exemplos abaixo.

Figura 18 - Exemplo de polígonos regulares

[Image: Polígonos regulares]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Temos apenas dois polígonos regulares que recebem nomes especiais.

Figura 19 - Polígonos com nomes especiais

[Image: Polígonos com nomes especiais]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Polígono irregular – Possui lados e/ou ângulos com medidas diferentes.

Soma dos ângulos de um polígono

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre igual a 360º.

Agora, para calcularmos a soma dos ângulos internos, devemos recorrer à seguinte fórmula:

\( S=n-2\cdot 180° \)

Onde: S \( \rightarrow \) soma dos ângulos internos.

n \( \rightarrow \) número de lados do polígono.

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Sem audiodescrição

Com audiodescrição

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Cálculo do número de diagonais de um polígono

Para calcularmos o número de diagonais de um polígono, basta utilizar a fórmula:

\( d=n\cdot n-32 \)

Onde: d \( \rightarrow \) número de diagonais.

n \( \rightarrow \) número de lados do polígono.

Atividade 1 Unidade 3

Q: Um polígono que possui 12 lados é conhecido como dodecágono. Caso esse polígono seja regular, a medida de cada um dos seus ângulos internos é:
- 150° (correct)
- 100°
- 125°
- 175°

Q: Sendo o número de diagonais de um octógono o quíntuplo do número de lados de um polígono, conclui-se que esse polígono é um:
- Quadrilátero (correct)
- Triângulo
- Pentágono
- Hexágono

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Perímetro de um polígono

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de todos os seus lados. Podemos dizer que o perímetro de uma figura é o seu contorno.

Vejamos alguns exemplos:

1) Para proteger a sua plantação de milho, Geraldo decidiu cercar o terreno da área plantada com quatro fios de arame farpado.

Figura 20 - Imagem de cima da plantação de milho

[Image: Imagem de cima da plantação de milho]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

A metragem mínima necessária de arame farpado para cercar o terreno da forma que Geraldo deseja é de:

   a) 36 metros.

   b) 88 metros.

   c) 96 metros.

   d) 144 metros.

Solução:

Nessa situação, Geraldo precisa calcular o contorno do terreno, ou seja, o perímetro, que é a soma de todos os lados. Mas observe que, na figura, não foi informada a medida de um dos lados.

Figura 21 - Imagem de cima da plantação de milho

[Image: Imagem de cima da plantação de milho]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Entretanto, podemos observar que o lado desconhecido com ponto de interrogação (?)  mede 2 metros, pois percebemos que a largura do terreno é de 7 metros, de acordo com os lados que estão à direita do terreno; então, se o lado que está à esquerda do terreno mede 5 metros, podemos concluir que o restante mede 2 metros, conforme indicado na figura.

Figura 22 - Imagem de cima da plantação de milho com divisórias

[Image: Imagem de cima da plantação de milho]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Daí, calculando o perímetro P do terreno, temos:

P \(  = 11+5+2+2+5+4+4+3=36 \) metros

Como Geraldo passará 4 fios de arame, então ele irá dar 4 voltas no terreno; portanto, ele irá precisar de:

\( 36\cdot 4=144 \) metros

Nesse caso, a alternativa correta é a letra D.

2) O perímetro de um triângulo é 35 cm. Se os seus lados medem \( 2x + 4, 4x – 10 e 3x + 5 \), determine o valor do maior lado desse triângulo.

   a) 4 cm

   b) 6 cm

   c) 12 cm

   d) 17 cm

Solução:

Calculando o perímetro, temos que:

\( 2x+4+4x-10+3x+5=35 \)

\( 2x+4x+3x=35+10-4-5 \)

\( 9x=36 \)

\( x=\frac{36}{9} \)

\( x=4 \)

Encontramos o valor de x, mas a questão pediu para calcularmos a medida do maior lado, então basta substituir o valor de x em cada um dos lados para identificar qual deles é o maior.

Sem título Tabela Visual com Scroll

\( 2x + 4 \)

\( 2\cdot 4 + 4 \)
\( 8 + 4 \)

\( 12 \)cm

\( 4x - 10 \)

\( 4\cdot 4 -10 \)
\( 16 + 10 \)

\( 6 \)cm

\( 3x + 5 \)

\( 3\cdot 4 + 5 \)
\( 12 + 5 \)

\( 17 \)cm

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Portanto, a alternativa correta é a letra D.

ÁREAS E PERÍMETROS DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS

- Triângulo

Figura 23 - Exemplo de triângulo

[Image: Triângulo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A= \frac{b\cdot h}{2} \)

Onde b é a base e h a altura relativa à base b.

Perímetro: \( P=a+b+c \)

Onde a, b e c são os lados.

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- Paralelogramo – É o quadrilátero que possui lados opostos paralelos e congruentes entre si.

Figura 24 - Exemplo de paralelogramo

[Image: Paralelogramo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A=b\cdot h \)

Onde b é a base e h a altura.

Perímetro:
\( P=a+b+a+b \)

\( P=2a+2b \)

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- Retângulo – É um paralelogramo que possui quatro ângulos retos, e suas diagonais são congruentes entre si.

Figura 25 - Exemplo de retângulo

[Image: Retângulo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A=b\cdot h \)

Onde b é a base e h a altura.

Perímetro:
P=b+b+h+h

P=2b+2h

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- Losango – É o paralelogramo que possui quatro lados congruentes entre si, e suas diagonais são perpendiculares.

Figura 26 - Exemplo de losango

[Image: Losango]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A=\frac{D\cdot d}{2} \)

Onde: D é a diagonal maior.

           d é a diagonal menor.

Perímetro:
\( P=l+l+l+l \)

\( P=4l \)

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- Quadrado – É o paralelogramo que possui quatro ângulos retos e quatro lados congruentes entre si, e suas diagonais são congruentes e perpendiculares.

Figura 27 - Exemplo de quadrado

[Image: Quadrado]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A=l∙l \)

\( A=l\cdot 2 \)

Onde l é o lado do quadrado.

Perímetro:
\( P=l+l+l+l \)

\( P=4l \)

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- Trapézio – É o quadrilátero que possui dois lados paralelos, chamados de bases.

Figura 28 - Exemplo de trapézio

[Image: Trapézio]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A= \frac{(B+b)\cdot h}{2} \)

Onde B e b são as bases do trapézio.

Perímetro:
\( P=B+b+c+d \)

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Você sabe a diferença entre Círculo e Circunferência?

Na matemática, eles têm definições diferentes.

- Círculo – É a região interna de uma circunferência, então o círculo possui área.
- Circunferência – É o contorno ou a linha curva que limita um círculo, então a circunferência possui comprimento.

Figura 29 - Exemplo de círculo

[Image: Círculo e circunferência]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Todo círculo e circunferência possuem os seguintes elementos: raio e diâmetro.

Figura 30 - Elementos de um círculo

[Image: Raio e diâmetro]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Raio – distância do centro até qualquer ponto da circunferência.

Diâmetro – é o maior segmento que pode ser traçado no interior de uma circunferência, ele passa pelo centro da circunferência; portanto, é sempre o dobro do raio.

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Perímetro ou comprimento de uma circunferência

Para calcularmos o comprimento de uma circunferência, basta observar que:

\( C=2 \pi r \)

Onde: C → comprimento da circunferência;

           r → raio da circunferência;

           \( \pi \) → número Pi, cujo valor é aproximadamente, 3,14159...

Área de um círculo

Para calcularmos a área de um círculo, basta observar que:

\( A=\pi r^2 \)

Onde: A \( \rightarrow \) área do círculo;

r \( \rightarrow \) raio do círculo;

\( \pi \rightarrow \) número Pi, cujo valor é aproximadamente, 3,14159...

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Casos particulares

1°) Triângulo equilátero

Figura 31 - Exemplo de triângulo equilátero

[Image: Triângulo Equilátero]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Altura: \( h=\frac{l\sqrt{3}}{2} \)

Área: \( A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4} \)

Perímetro:
\( P=l+l+l \)

\( P=3l \)

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- Todos os ângulos internos medem 60°.
- A altura é bissetriz; portanto, divide o ângulo em duas partes de mesma medida.
- A altura toca a base do triângulo no ponto médio, dividindo o lado em dois segmentos de mesmo comprimento.

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2°) Hexágono regular – polígono formado por seis triângulos equiláteros.

Figura 32 - Exemplo de Hexágono regular

[Image: Hexágono Regular]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Área: \( A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \)

Perímetro:
\( P=l+l+l+l+l+l \)

\( P=6l \)

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VAMOS PRATICAR!!!

1) Márcia decidiu pintar uma das paredes de seu quarto com uma cor diferente. Para isso, ela escolheu uma lata de tinta rosa, cujo rótulo diz que o rendimento do conteúdo é \( 20 m^2 \).

Se a parede que Márcia pretende pintar é retangular, com as medidas de 4 m de comprimento e 3 m de altura, quantas latas de tinta Márcia precisará comprar?

   a) Uma lata.

   b) Duas latas.

   c) Três latas.

   d) Quatro latas.

Solução:

Vamos calcular a área que será pintada. Como é uma parede retangular, devemos multiplicar a base pela altura.

\( A=4\cdot 3 \)

\( A=12 m^2 \)

Como a parede de Márcia tem uma área de \( 12 m^2 \), e uma lata de tinta é suficiente para pintar \( 20 m^2 \), então Márcia deverá comprar apenas uma lata de tinta.

Alternativa correta é a letra A.

2) Um parque de diversões está construindo uma roda gigante com 22 metros de diâmetro. Uma estrutura de aço na forma de circunferência está sendo construída para fixar os assentos individuais. Se cada assento está a 2 m de distância do próximo e considerando \( \pi \) = 3, o número máximo de pessoas que poderão brincar de uma só vez nesse brinquedo é:

   a) 33 pessoas.

   b) 44 pessoas.

   c) 55 pessoas.

   d) 66 pessoas.

Solução:

Vamos calcular o comprimento da circunferência da roda gigante.

\( C=2\pi r \)

\( C=2\cdot 3\cdot 11 \)

   \( C=66 \) metros

Como os assentos estão separados a cada 2 metros, então basta dividir:

\( \frac{66}{2}= 33 \) assentos.

Alternativa correta é a letra A.

3) Um festival foi realizado num campo de 240 m por 45 m. Sabendo que por cada \( 2 m^2 \) havia, em média, 7 pessoas, quantas pessoas havia no festival?

   a) 42.007

   b) 41.932

   c) 37.800

   d) 24.045

Solução:

Vamos calcular a área correspondente ao festival. Como é uma área retangular, então:

\( A=240\cdot 45 \)

\( A=10.800 m^2 \)

Se, em cada \( 2 m^2 \) havia, em média, 7 pessoas, sabemos que em \( 1 m^2 \) deverá ter 3,5 pessoas.

Daí, multiplica-se a medida da área pela quantidade de pessoas em cada \( m^2 \).

\( 10.800\cdot 3,5=37.800 \)

Alternativa correta é a letra C.

4) Um terreno possui formato de um hexágono regular. Deseja-se cercar essa área com arame farpado, de maneira que o arame dê 3 voltas em torno do terreno. Sabendo que foram gastos, ao todo, 810 metros de arame para cercar todo o terreno, a área desse hexágono mede, aproximadamente: (Observação: use \( \sqrt{3}=1,7 \))

   a) \( 5.102 m^2 \).

   b) \( 5.164 m^2 \).

   c) \( 5.200 m^2 \).

   d) \( 5.225 m^2 \).

Solução:

Vamos descobrir quanto mede cada lado desse hexágono. Foram dadas 3 voltas, e foi gasto 810 m de arame; então, para dar apenas uma volta, temos:

\( \frac{810}{3}=270 m \)

Sendo o perímetro de um hexágono regular igual a P=6l, então a medida de um lado será:

\( 6l=270 \)

\( l=\frac{270}{6} \)

\( l=45 \)

Agora, podemos calcular a área do hexágono.

\( A=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} \)

\( A=3\cdot 45^2\cdot 1,72 \)

\( A=3\cdot 2025\cdot 1,72 \)

\( A=3\cdot 2025\cdot 1,72 \)

\( A=\frac{10.327,5}{2} \)

\( A=5.163,75 \)

Alternativa correta é a letra B.

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Agora é a sua vez: aplique o que aprendeu até aqui, respondendo ao quiz abaixo.

Atividade 2 Unidade 3

Q: (IFRN 2020) Uma imagem será reproduzida em um outdoor para fomentar um debate sobre o cyberbullying em certa comunidade. A gráfica recebeu a imagem original retangular com medidas de 18 cm de largura por 30 cm de comprimento. Sabendo que a gráfica irá ampliar a figura em 10 vezes do seu tamanho original e que o preço para a confecção desse outdoor é de R$ 120,00 por metro quadrado, o valor cobrado por esse outdoor será de
- R$ 648,00 (correct)
- R$ 620,00
- R$ 660,00
- 688,00

Q: (IFRN 2017) Após uma campanha contra o desmatamento, o prefeito de determinado município enviou um projeto de lei para a câmara dos vereadores em que reservava um terreno retangular da prefeitura para ser preservado de eventuais desmatamentos. Se o terreno reservado tem 70 km de perímetro e 250km² de área, suas dimensões são
- 25 km e 10 km (correct)
- 12 km e 23 km
- 17 km e 18 km
- 15 km e 20 km

Q: (IFRN 2025) Um grupo de pesquisadores do Rio de Janeiro está analisando o impacto do tamanho das telas usadas pelos estudantes em seu desempenho acadêmico. Eles estudam uma tela retangular com uma área de 75cm². Sabe-se que o lado maior da tela é o triplo do comprimento do lado menor. A soma dos comprimentos dos lados dessa tela é
- 40 cm (correct)
- 45 cm
- 35 cm
- 50 cm

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Teorema de Tales e Teorema de Pitágoras

Tales de Mileto

Tales de Mileto foi um dos primeiros grandes matemáticos da história. Ele viveu na Grécia Antiga, por volta do século VI a.C., e é considerado um dos sete sábios da Antiguidade.

Por ser um grande comerciante, viajou pelo Oriente Médio, o que o fez conhecer o Egito e a região da Babilônia, atual Iraque. Mediante suas viagens, o filósofo conheceu a astronomia babilônica, advinda de povos sumérios, e a matemática egípcia, que possibilitou à população do Egito uma engenharia capaz de construir as famosas pirâmides.

A matemática, em especial a geometria, não era cultivada de modo sistemático e científico pelos egípcios. Uma das grandes contribuições de Tales foi transformar aquele conhecimento prático em uma ciência capaz de cultivar e evoluir os conhecimentos sobre os números e as formas geométricas.

Tal feito fez com que o filósofo desenvolvesse o ainda atual Teorema de Tales, que permitiu o cálculo da altura de uma pirâmide tomando por base o comprimento das retas paralelas e a disposição angular das retas transversais da figura geométrica espacial.

Figura 33 - Exemplo do Teorema de Tales

[Image: Teorema de Tales]

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Fonte: Elaborada pela Diretoria de Educação à Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

O Teorema de Tales é uma de suas contribuições mais famosas e é muito utilizado até os dias de hoje. Esse teorema nos ajuda a resolver problemas envolvendo proporções entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal. Ele é aplicado em várias áreas, como arquitetura, engenharia, cartografia e até mesmo na arte, auxiliando no dimensionamento e na perspectiva de objetos.

Vamos entender melhor esse teorema e como ele pode ser utilizado no nosso dia a dia.

O teorema de Tales

"Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, então os segmentos determinados em uma das transversais são proporcionais aos segmentos correspondentes determinados na outra transversal."

Na figura abaixo, as retas r, s e t são paralelas, e estão sendo cortadas por duas transversais determinando segmentos proporcionais entre si.

Figura 34 - Retas paralelas

[Image: Teorema de Tales]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Vejamos alguns exemplos:

- \(\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}\)
- \(\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}\)
- \(\frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{FE}}{\overline{DF}}\)

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VAMOS PRATICAR

1) Determine o valor de x, nos casos abaixo, sendo r, s e t retas paralelas.

Figura 35 - Retas paralelas x

[Image: Imagem Questão 1]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Solução:

Vamos aplicar o Teorema de Tales, montando a proporção:

\( \frac{x+1}{8}=\frac{5}{10} \)

\( x+1=\frac{5\cdot 8}{2\cdot 5} \)

\( x+1=4 \)

\( x=3 \)

Figura 36 - Retas paralelas solução

[Image: letra B]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Solução:

Vamos aplicar o Teorema de Tales, montando a proporção:

\( \frac{x}{9}=\frac{6+4}{6} \)

\( x=\frac{10\cdot 9}{6} \)

\( x=15 \)

2) Calcule o valor de BD, sabendo que o segmento de reta DE é paralelo à base do triângulo AC.

Figura 37 - Triângulo BD

[Image: triângulo]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Solução:

Vamos aplicar o Teorema de Tales, montando a proporção:

\( \frac{x}{13}=\frac{8}{16} \)

\( x=\frac{8\cdot 13}{16} \)

\( x=\frac{104}{16} \)

\( x=6,5 \)

Pitágoras

Pitágoras foi um filósofo, matemático, astrônomo e músico grego pré-socrático. Nasceu na ilha de Samos no ano aproximado de 570 a.C. e morreu, provavelmente, em 496 a.C.. Passou boa parte de sua vida na antiga região da Magna Grécia (atual território italiano) e lá fundou a sua escola filosófica.

Pouco se sabe sobre a vida do pensador pré-socrático devido à distância histórica que o separa de nós. O que se sabe, em geral, advém de antigos historiadores e filósofos, como Heródoto, Xenófanes e Aristóteles. Pitágoras ficou bastante conhecido por ter fundido os seus conhecimentos de Filosofia, Astronomia, Geometria e Música em uma seita, angariando seguidores fiéis de sua doutrina, o pitagorismo.

Pitágoras foi um exímio geômetra, deixando como principal contribuição para a matemática a descoberta da relação de igualdade entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos no interior de um triângulo retângulo, o que ficou conhecido como Teorema de Pitágoras.

O teorema de Pitágoras

"Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos."

Figura 38 - Exemplo Teorema de Pitágoras

[Image: Imagem retratando o O TEOREMA DE PITÁGORAS]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

\( a^2=b^2+c^2 \)

Onde: \( a \rightarrow \) hipotenusa.

\( b e c\rightarrow \)catetos.

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Professora Magá

Professora Magá, eu tava pensando num negócio aqui que talvez seja doido, mas acho que tem a ver com nossa aula…

Oi, Igor! Vindo de você, pode até ser doido, mas vai fazer sentido, tenho certeza!

É sobre a rampa de acesso ao segundo andar do bloco de aulas. Eu uso ela todo dia, mas tô achando inclinada demais e pensei em falar com o NAPNE aqui do campus. Tem algum jeito da matemática me ajudar a entender se isso tá certo?

Aham, tem sim, com o Teorema de Pitágoras!

Sério? Achei que esse teorema era só pra conta de triângulo.

E é! Mas veja: a rampa, o chão e a altura da entrada formam um triângulo retângulo. O chão é um cateto, a altura do piso é o outro, e a rampa é a hipotenusa, o lado inclinado do triângulo.

Tá… Pelo o que eu vi, do chão até a entrada tem 1,2 metros de altura. E a base, que é o chão plano, tem só 3 metros, Isso é bom?

Bora ver! Aplicando Pitágoras, a gente tem A, que é a hipotenusa, ao quadrado, igual a soma do quadrado dos catetos, que são B e C. Então, a gente tem 3 ao quadrado mais 1,2 ao quadrado. Dá 10,44. Daí a gente passa a potência pro outro lado da igualdade, como raiz de 10,44. Isso quer dizer que a rampa atual tem 3,2  metros de comprimento.

Hmm, mas pra ficar suave, não deveria ser maior?

Isso! Pelas regras de acessibilidade brasileiras, o ideal é uma inclinação de no máximo 8%, ou seja, a cada 1 metro de base, a rampa pode subir no máximo 8 centímetros de altura. Pra 1,2 metro de altura, o comprimento da rampa teria que ser 15,05 metros!

Aí sim, prof! Já vou anotar isso tudo e falar com o NAPNE, brigadão!

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VAMOS PRATICAR!!!

1) Um terreno retangular será dividido ao meio, pela sua diagonal, formando dois triângulos retângulos. A metade desse terreno será cercada com 4 fios de arame farpado. Sabendo que as dimensões desse terreno são de 20 metros de largura e 21 metros de comprimento, qual será a metragem mínima gasta de arame?

   a) 300 metros

   b) 280 metros

   c) 70 metros

   d) 29 metros

Solução:

Vamos representar o terreno retangular e aplicar o Teorema de Pitágoras para calcular a medida da diagonal.

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\( d^2=20^2+21^2 \)

\( d^2=400+441 \)

\( d^2=841 \)

\( d=\sqrt{841} \)

\( d=29 \)

Agora, vamos calcular o perímetro do terreno: \( P=20+21+29=70 \) metros

Entretanto, como serão 4 fios de arame, vamos multiplicar o perímetro por 4 e encontrar a metragem necessária de arame.

\( 70\cdot 4=280 \) metros

Portanto, a alternativa correta é a letra B.

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Um carro se desloca por uma rampa inclinada. Essa rampa possui 60 metros de comprimento e altura máxima de 10 metros, conforme a imagem:

[Image: carro se deslocando em uma rampa de 60 metros]

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A distância x entre o ponto A e B é de aproximadamente:

   a) 45 metros.

   b) 50 metros.

   c) 56 metros.

   d) 59 metros.

Solução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento x, temos:

\( 60^2=10^2+x^2 \)

\( 3600=100+x^2 \)

\( 3600-100=x^2 \)

\( x^2=3500 \)

\( x=\sqrt{3500} \)

\( x\simeq 59,16 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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Volumes de sólidos geométricos

Os sólidos geométricos estão presentes no nosso dia a dia de diversas formas. Podemos encontrá-los em caixas, latas de refrigerante, edifícios, piscinas e diversas embalagens. O volume desses sólidos representa a quantidade de espaço que eles ocupam. Compreender o volume de sólidos geométricos permite resolver problemas práticos, como calcular a quantidade de líquido em um recipiente ou o espaço disponível em um ambiente. Neste capítulo, aprenderemos a calcular o volume de alguns dos principais sólidos geométricos.

Principais sólidos geométricos espaciais

Um sólido geométrico espacial é uma figura tridimensional que ocupa espaço e possui volume, diferentemente das figuras planas, que têm apenas comprimento e largura. Esses sólidos são estudados na geometria espacial e podem ter superfícies planas ou curvas.

Os principais sólidos geométricos podem ser divididos em dois grupos:

1°) Poliedros – formado por polígonos, todas as faces são figuras planas.

Figura 39 - Exemplo de poliedros

[Image: Poliedros]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

2°) Corpos Redondos – possuem superfícies curvas.

Figura 40 - Exemplo de corpos redondos

[Image: Corpos redondos]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Cada sólido geométrico possui uma fórmula específica para calcularmos o seu volume; entretanto, podemos agrupá-los, pois alguns deles têm características semelhantes.

Prismas e cilindros

Figura 41 - Exemplo de primas e cilindros

[Image: Prisma e cilindro]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Para calcular o volume de qualquer desses sólidos, basta observar que:

\( V=A_b\cdot h \)

Onde: \( V \rightarrow \) Volume

\(A_b \rightarrow \) Área da base

\( h \rightarrow \) Altura

Pirâmide e cone

Figura 42 - Exemplo de pirâmide e cone

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

Para calcular o volume de qualquer desses sólidos, basta observar que:

\( V=\frac{A_b\cdot h}{3} \)

Onde: \(V \rightarrow \)Volume

\( Ab \rightarrow \)Área da base

\( h \rightarrow \) Altura

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Esfera

Onde: \( V \rightarrow \) Volume   |   \( V=\frac{4}{3}\pi r^3 \)

\( r \rightarrow \)raio da esfera

Figura 43 - Exemplo de esfera

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

VAMOS PRATICAR

1) De uma viga de madeira de seção quadrada de lado L =10 cm, extrai-se uma cunha de altura h = 15 cm, conforme a figura. O volume da cunha é:

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a) 250 cm3.

   b) 500 cm3.

   c) 750 cm3.

   d) 1.000 cm3.

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Solução:

Perceba que o sólido é um prisma triangular, então seu volume será V=AbH. Vamos calcular a área da base:

[Image: Triângulo hipotenusa = 15 base = 10]

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Fonte:

\( A_b=\frac{b\cdot h}{2} \)

\( A_b=\frac{10\cdot 15}{2} \)

\( A_b=75 cm^2 \)

Agora, vamos calcular o volume do prisma.

\( V=A_b\cdot H \)

\( V=75\cdot 10 \)

\( V=750 cm^3 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

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2) O volume de uma esfera de raio r é dado por \( V = 4/3 \pi r^3 \). Um reservatório com formato esférico tem um volume de \( 36 \pi \) metros cúbicos. Sejam A e B dois pontos da superfície esférica do reservatório e seja m a distância entre eles, o valor máximo de m em metros é:

   a) 5,5.

   b) 5,0.

   c) 6,0.

   d) 4,5.

Solução:

A maior distância entre dois pontos de uma esfera é o diâmetro dessa esfera. Como foi informado o valor do volume, podemos calcular o raio dessa esfera.

\( V=\frac{4}{3}\pi r^3 \)

\( 36\pi =\frac{4}{3}\pi r^3 \)

\( 3\cdot 36\pi =4\pi r^3 \)

\( \frac{3\cdot 36\pi} {4\pi} =\pi r^3 \)

\( 27=r^3 \)

\( r=3 \)

Como o diâmetro é o dobro do raio, então: \( d=2\cdot 3=6 \) m

Portanto, a alternativa correta é a letra C.

3) Um reservatório de gás possui formato de cilindro, com 2 metros de diâmetro e 2 metros de altura. Utilizando \( \pi = 3,1 \), o volume desse reservatório é de:

   a) \( 1,5 m^3 \).

   b) \( 1,6 m^3 \).

   c) \( 3,1 m^3 \).

   d) \( 6,2 m^3 \).

Solução:

O volume de um cilindro é calculado pela fórmula \( V= \pi r^2\cdot h \), foi informado que o diâmetro mede 2 metros, então, o raio mede 1 metro, conforme figura abaixo.

[Image: Cilindro]

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\( V= 3,1 \cdot 1^2\cdot 2 \)

\( V= 6,2 m^3 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

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4) Buscando inovar nas embalagens, uma empresa de cosméticos decidiu fazer o lançamento de um perfume com o nome Egito, e a embalagem desse perfume tem formato de uma pirâmide de base quadrada. Sabendo que essa embalagem tem base formada por um quadrado com lados medindo 6 centímetros e tem 10 centímetros de altura, então o seu volume é de:

   a) \( 120 cm^3 \).

   b) \( 150 cm^3 \).

   c) \( 210 cm^3 \).

   d) \( 240 cm^3 \).

Solução:

O volume de uma pirâmide é calculado pela fórmula \( V= \frac{A_b\cdot h}{3} \), como a base da pirâmide é um quadrado, conforme mostra a figura, então temos:

[Image: Pirâmide]

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\( V= \frac{l^2\cdot h}{3} \)

\( V= \frac{6^2\cdot 10}{3} \)

\( V= \frac{36\cdot 10}{3} \)

\( V= 120 cm^3 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

5) O cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o ponto central da base. A altura de um cone circular reto mede o dobro da medida do raio da base e o comprimento da circunferência dessa base é \( 20\pi \) cm, então o volume desse cone é: (Use: \( \pi = 3 \))

   a) \( 2.000 cm^3 \).

   b) \( 3.000 cm^3 \).

   c) \( 5.000 cm^3 \).

   d) \( 6.000 cm^3 \).

Solução:

Para encontrarmos o raio da base, vamos utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência, que mede \( 20\pi \).

\( C=2\pi \cdot r \)

\( 20\pi =2\pi \cdot r \)

\( \frac{20\pi} {2\pi} =r \)

\( r=10 \)

Sabendo que o raio mede 10, e que a altura do cone mede o dobro do raio, então
h=20.

Agora, calculando o volume e utilizando \( \pi =3 \), e lembrando que a área da base é um círculo, cuja fórmula é \( A_b=\pi r^2 \), temos:

[Image: Cone]

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\( V= \frac{A_b\cdot h}{3} \)

\( V= \frac{\pi r^2\cdot h}{3} \)

\( V= \frac{3\cdot 10^2\cdot 20}{3} \)

\( V= \frac{3\cdot 100\cdot 20}{3} \)

\( V= 2.000 cm^3 \)

Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Antes de passarmos para o próximo capítulo, vamos recuar um pouco e fixar melhor a fórmula da soma das diagonais de um polígono. Para isso, assista ao vídeo abaixo.

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Segmentos de reta – o segmento de reta é definido como parte da reta, sendo um pedaço de reta.
Segmentos de reta consecutivos – são segmentos que têm uma extremidade em comum. Ou seja, o final de um segmento coincide com o início do outro.
Segmentos de reta colineares – são segmentos que estão contidos na mesma reta. Ou seja, dois ou mais segmentos de reta são colineares se compartilham a mesma reta.
Nomenclatura – é o ato de nomear, isto é, dar nomes às coisas.
Contorno – linha que limita exteriormente um corpo ou uma figura.
Reta Transversal – uma reta transversal é qualquer reta que cruza duas ou mais retas.

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Capítulo 4: Estatísticas e probabilidade

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No capítulo anterior você estudou as formas geométricas, conheceu e aprendeu a calcular o volume de sólidos geométricos espaciais, agora vamos conhecer outro ramo da Matemática, mas sem esquecer os conteúdos já trabalhados, afinal vamos utilizar os conhecimentos adquiridos para resolver os problemas relacionados à Estatística e Probabilidade. Vamos nessa?

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Estatística e probabilidade no cotidiano

A Estatística é uma área da Matemática que se ocupa da coleta, organização, análise e interpretação de dados. Ela está presente no nosso dia a dia, muitas vezes sem que percebamos. O uso de estatísticas pode ser visto em pesquisas de opinião, no planejamento de políticas públicas, nas análises de desempenho escolar, nos esportes, na economia e até mesmo nas decisões que tomamos em nossa vida pessoal.

Por exemplo, quando um time de futebol avalia o desempenho de seus jogadores, eles podem usar estatísticas como o número de gols, assistências, passes certos, entre outros. Quando uma escola faz uma pesquisa sobre a satisfação dos alunos, ela está utilizando a Estatística para entender melhor o que pode ser melhorado, com esses dados podemos calcular a Probabilidade desse time ganhar uma próxima partida.

É isso! A Probabilidade é uma área da Matemática que, assim como a Estatística, lida com dados e incertezas. Enquanto a Estatística se preocupa em analisar dados reais e tirar conclusões a partir deles, a Probabilidade tenta prever o que pode acontecer no futuro, com base em eventos que possuem uma chance de ocorrer. Ou seja, a Probabilidade nos ajuda a medir a chance de um evento acontecer, enquanto a Estatística nos ajuda a entender o que já aconteceu em termos de dados coletados.

Neste capítulo, vamos aprender sobre Média Aritmética Simples e Média Aritmética Ponderada, dois conceitos fundamentais para compreender como os dados podem ser analisados e usados para tirar conclusões e, vamos explorar o conceito de Probabilidade para aprender como calcular as chances de um evento ocorrer.

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Leitura e Interpretação de Dados Estatísticos

Em nosso cotidiano, estamos constantemente expostos a diferentes tipos de informações e dados: seja em pesquisas de opinião, nos noticiários, em estudos escolares, ou até mesmo nas redes sociais. Esses dados, para que sejam realmente úteis, precisam ser organizados e interpretados corretamente. É aqui que entra a Leitura e Interpretação de Dados Estatísticos.

Vamos aprender como ler e interpretar dados apresentados em tabelas e gráficos. A tabela organiza os dados de forma clara, geralmente com colunas e linhas, enquanto os gráficos, como barras, setores ou linhas, transformam os dados em representações visuais, facilitando a comparação e a identificação de tendências.

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Tipos de gráficos

1º) Gráfico de linha: é utilizado em casos que existe a necessidade de analisar dados ao longo do tempo. Em um gráfico de linhas, pode haver várias linhas, portanto cada linha representa um conjunto de dados. Desta forma, a evolução entre diferentes séries de dados pode ser comparada.

Vejamos um exemplo:

Horas de uso do celular

Figura 1 - Gráfico representando horas de uso no celular

[Image: Horas de uso do celular]

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Fonte: https://escolakids.uol.com.br/matematica/graficos.htm

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Professora Magá

Oi, professora Magá! Desculpa mandar mensagem, mas é que eu faltei à aula ontem por causa de uma consulta, e tô com dúvida sobre a atividade pra semana que vem. Me falaram que é um exercício pra gente pensar nosso tempo de tela usando estatística. A senhora pode me explicar como é? Eu fiquei meio perdido aqui…

Oi, Igor! Ontem a gente trabalhou com estatística, que é a parte da matemática que ajuda a coletar, organizar e interpretar dados. Pro exercício, a gente vai usar dados do seu próprio celular. Eu pedi pra turma acessar o “Bem-estar digital” ou o “Tempo de tela” aí na área de configurações. O nome pode mudar dependendo do modelo do seu aparelho.

Achei aqui, professora! Tem um gráfico com umas barrinhas… Mas como é que eu leio isso?

Boa, Igor! Esse aí é um gráfico de barras, muito usado pra gente comparar valores de diferentes categorias. No seu celular, o eixo X, na horizontal, tá mostrando os nomes dos aplicativos que você mais usou hoje, e no eixo Y, o vertical, o tempo que você gastou, geralmente em horas ou minutos. Cada barra representa um app e, quanto mais alta a barra, mais tempo você passou nele. Se a barra do TikTok for mais alta que a do navegador, por exemplo, quer dizer que você ficou mais tempo no TikTok naquele dia.

Eita, já deu até pra ver aqui que hoje passei mais tempo no TikTok do que com o caderno.

Agora, pro exercício, eu quero que você anote quanto tempo você gastou nos apps durante uma semana. Pode escolher uns três ou quatro apps. Aí você vai criar uma tabelinha, anotando o dia da semana e o tempo gasto. Na próxima aula ,
a gente vai usar esses dados pra calcular a média de tempo de uso de cada aplicativo, e vamos montar um gráfico de linhas pra mostrar a evolução. Combinado? Qualquer coisa você me chama por aqui!

Beleza, Magá! Vou começar a atividade aqui, obrigado!

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2º) Gráfico de barras ou colunas: é utilizado para comparar os dados de determinada amostra, é composto por barras verticais (colunas) ou horizontais, onde o comprimento ou a altura de cada barra é proporcional à quantidade ou frequência de um determinado valor.

Vejamos alguns exemplos:

Figura 2 - Gráfico representando dados sobre turismo no Brasil

[Image: Turistas no Brasil]

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Fonte: https://ensinarhoje.com/grafico-de-barras-com-total-e-minuendo-15/

Figura 3 - Gráfico representando a disciplina favorita dos estudantes

[Image: DISCIPLINA FAVORITA DOS ESTUDANTES]

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Fonte: https://escolakids.uol.com.br/matematica/graficos.htm

3º) Gráfico de setores – conhecido também como gráfico de pizza, é feito na fórmula de um círculo, dividido em fatias, e o tamanho de cada fatia é proporcional a quantidade ou a porcentagem de um dado dentro de um total.

Vejamos um exemplo:

Figura 4 - Gráfico apresentando qual esporte mais praticado pelos alunos

[Image: Gráfico de esportes praticados pelos alunos]

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Fonte: elaborada pela Diretoria de Educação a Distância e Tecnologias Educacionais do campus Zona Leste do IFRN.

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Média aritmética simples e ponderada

A média aritmética simples é o valor que se obtém ao somar todos os elementos de um conjunto de dados e dividir o resultado pelo número total de elementos desse conjunto.

Você já calculou sua média na escola? Observando os dados da tabela a seguir das notas de um aluno nas disciplinas de Matemática, Língua Portuguesa e Ciências, vamos calcular sua média em cada uma das disciplinas.

Sem título Tabela Visual com Scroll

Matemática

Língua Portuguesa

Ciências

1º bimestre

8,5

5,0

6,0

2º bimestre

7,5

3º bimestre

9,0

9,5

7,0

4º bimestre

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Solução:

Matemática: \( \frac{8,5+7,5+9,0+6,0}{4}=\frac{31}{4}=7,75 \)

Língua Portuguesa: \( \frac{5,0+8,5+9,5+7,0}{4}=\frac{30}{4}=7,5 \)

Ciências: \( \frac{6,0+7,0+7,0+8,0}{4}=\frac{28}{4}=7,0 \)

A média aritmética ponderada é utilizada quando alguns elementos tem importâncias diferentes para o cálculo da média. Essa importância é chamada de “peso”, então, é comum dizer que na média ponderada os elementos possuem pesos diferentes. Nesse caso, para calcular a média, cada elemento é multiplicado pelo seu respectivo peso e o resultado da soma desses produtos é dividido pela soma dos pesos.

Você sabia que a média aritmética no IFRN é uma média ponderada?

Vamos ver o que diz o artigo 251 da Organização Didática do IFRN:

Art. 251. Nos cursos com regime seriado anual, será considerado aprovado na disciplina o estudante que, ao final do 4º bimestre, não for reprovado por falta e obtiver média aritmética ponderada igual ou superior a 60 (sessenta), de acordo com a seguinte equação:

\( MD=\frac{2\cdot N_1+2\cdot N_2+3\cdot N_3+3\cdot N_4}{10} \)

na qual

MD = média da disciplina

\( N_1 \) = nota do estudante no 1º bimestre

\( N_2 \)= nota do estudante no 2º bimestre

\( N_3 \) = nota do estudante no 3º bimestre

\( N_4 \) = nota do estudante no 4º bimestre

Perceba que as notas do 1º e 2º bimestres estão multiplicadas por 2, isto significa que cada uma delas tem peso 2. Já as notas do 3º e 4º bimestres têm peso 3, quer dizer que o peso dessas notas é maior para o cálculo da média, observe que toda expressão está sendo dividida por 10, que é exatamente a soma dos pesos \( 2+2+3+3=10 \).

Vamos calcular a média de um aluno do IFRN em duas disciplinas, segue na tabela a seguir suas notas bimestrais, lembre-se de utilizar a fórmula do Art. 251 citado logo acima.

Sem título Tabela Visual com Scroll

1º bimestre

2º bimestre

3º bimestre

4º bimestre

Matemática

80

70

40

50

Português

Sem título Text

Solução:

Média de Matemática: \( MD=\frac{2\cdot 80+2\cdot 70+3\cdot 40+3\cdot 50}{10}=\frac{160+140+120+150}{10}=\frac{570}{10}=57 \)

Média de Português: \( MD=\frac{2\cdot 50+2\cdot 40+3\cdot 70+3\cdot 80}{10}=\frac{100+80+210+240}{10}=\frac{630}{10}=63 \)

Perceba que esse aluno não foi aprovado em Matemática, pois sua média final foi inferior a 60, outro fato interessante é que ele obteve as mesmas notas nas duas disciplinas, mas note que as notas maiores 70 e 80, em Português estão no 3º e 4º bimestre, que são exatamente os bimestres cujas notas tem peso maior.

Portanto, numa média ponderada, os pesos influenciam o resultado final. Vamos aprofundar um pouco mais? Para fixar melhor o que acabou de ler, assista ao vídeo abaixo.

Sem título Astro Video Link

Sem audiodescrição

Com audiodescrição

Sem título Text

Probabilidade

Imagine jogar uma moeda. Você já sabe que há duas possibilidades: cara ou coroa. Mas será que conseguimos prever com certeza qual dos dois resultados vai sair?

A probabilidade é uma área da matemática que estuda situações como essa — situações de incerteza, mas em que podemos medir as chances de um resultado acontecer.

Ela está presente em nosso dia a dia mais do que você imagina:

- Ao prever se vai chover amanhã;
- Ao estimar as chances de um time vencer um jogo;
- Quando olhamos para uma pesquisa eleitoral;
- Até mesmo quando se analisa a quantidade de vendas de um certo produto num supermercado em determinado período.

Saber calcular a probabilidade nos ajuda a tomar decisões mais inteligentes, baseadas em dados e não apenas em "achismo". E isso é ainda mais importante quando trabalhamos com gráficos e tabelas de frequência, como vimos anteriormente.

Para calcular a probabilidade de um determinado evento ocorrer, podemos usar a fórmula da definição clássica de probabilidade:

Probabilidade= \( \frac{n° \ de \ casos \ favoráveis}{n° \ de \ casos \ possíveis} \)

Mas cuidado!! Esta fórmula só é válida quando estamos calculando a probabilidade em um espaço equiprovável!!

Neste material, trabalharemos apenas com espaços equiprováveis.

Vamos imaginar agora um levantamento feito em uma escola sobre o lanche favorito dos estudantes:

Sem título Tabela Visual com Scroll

Lanche

Número de estudantes

Pão com queijo

12

Hambúrguer

20

Salada

5

Pizza

13

Sem título Text

Total de Alunos: 50

Se um estudante for sorteado ao acaso, qual a probabilidade de este estudante preferir pizza?

Antes de calcularmos esta probabilidade perceba que, se um estudante for sorteado ao acaso, cada um tem a mesma chance de ser sorteado. Assim, nosso espaço é equiprovável e podemos usar a nossa fórmula.

O mais importante aqui é identificar quais são os casos favoráveis e o quais são os casos possíveis para que possamos contá-los corretamente e assim calcular a probabilidade que estamos procurando.

No nosso exemplo temos:

casos possíveis = 50; pois qualquer um dos 50 alunos pode ser sorteado.

casos favoráveis = 13; pois é o número de estudantes que preferem pizza.

Assim, podemos calcular a probabilidade de o estudante sorteado preferir pizza como segue:

Probabilidade=\( \frac{n° \ de \ casos \ favoráveis}{n° \ de \ casos \ possíveis}=\frac{13}{50} \)

Logo, a probabilidade de o estudante sorteado preferir pizza é \( \frac{13}{50} \).

Podemos ainda escrever a probabilidade em porcentagem, o que resulta em 26%.

Vejamos mais um exemplo:

Em uma caixa há 5 fichas com as letras A, B, C, D e E.

Pergunta: Qual é a probabilidade de sortear uma vogal?

Vemos que cada ficha tem a mesma probabilidade de ser sorteada.

Assim, temos:

casos possíveis = 5; pois qualquer uma das 5 fichas pode ser sorteada.

casos favoráveis = 2; pois temos apenas as vogais A e E dentre as fichas.

Assim, a probabilidade de uma vogal ser sorteada é:

Probabilidade = \( \frac{n° \ de \ casos \ favoráveis}{n° \ de \ casos \ possíveis} = \frac{2}{5} = 40\% \)

Atividade 1 Unidade 4

Q: (IFRN – PROEJA 2020) Considere os números contidos no trecho destacado: 22, 43, 50, 650, 1975 e 2000. Em seguida, escreva cada um deles em um pedaço de papel. Posteriormente, cada pedaço de papel será colocado dentro de uma bola para um sorteio ao acaso. Se somente uma bola será sorteada, então, a probabilidade de o número dentro da bola sorteada ser menor que 50 é
- \( \frac{1}{3} \) (correct)
- \( \frac{2}{3} \)
- \( \frac{1}{2} \)
- \( \frac{1}{6} \)

Q: (UFT–TO) A nota final para uma disciplina de uma instituição de ensino superior é a média ponderada das notas A, B e C, cujos pesos são 1, 2 e 3, respectivamente. Paulo obteve A = 3,0 e B = 6,0. Quanto ele deve obter em C para que sua nota final seja 6,0?
- 7,0 (correct)
- 8,0
- 9,0
- 10,0

Q: (IF SUL – MG 2018) Celinho é o técnico do time de basquete de sua cidade. No seu time, os cinco titulares possuem altura média de 1,88 m. No campeonato que o time de Celinho vai disputar, os jogadores dos outros times têm, em média, 1,91 m. Para aumentar a altura média do seu time, Celinho tirou o jogador mais baixo do time, de altura de 1,79 m. Se quiser igualar à média de altura dos outros times, o jogador que entrará no time deverá ter altura igual a:
- 1,94 m (correct)
- 1,88 m
- 1,91 m
- 2,03 m

Q: (IFRN – 2016) Na feira “Patinha Amiga”, estavam disponíveis para adoção um total de 65 animais, sendo: 10 gatos filhotes, 19 gatos adultos, 15 cães filhotes e 21 cães adultos. Escolhendo-se, ao acaso, um animal desse grupo, a probabilidade de que ele seja um filhote é igual a:
- \( \frac{5}{13} \) (correct)
- \( \frac{2}{17} \)
- \( \frac{2}{13} \)
- \( \frac{3}{19} \)

Sem título Astro Card

Tendência em Estatística – Tendência é aquilo que leva alguém a seguir um determinado caminho ou a agir de certa forma, em Estatística é um padrão ou direção que os dados seguem ao longo do tempo.
 Espaço equiprovável – Quando todos os resultados possíveis de um experimento aleatório têm a mesma chance (probabilidade) de ocorrer.

Ficha catalográfica

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Sem título Ficha Catalográfica

PRESIDENTE DA REPÚBLICA
Luiz Inácio Lula da Silva
MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Camilo Sobreira de Santana
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
Marcelo Bregagnoli

REITOR
José Arnóbio de Araújo Filho

PRÓ-REITORA DE PESQUISA E INOVAÇÃO
Francinaide de Lima Silva Nascimento

CAMPUS AVANÇADO NATAL - ZONA LESTE
DIRETOR-GERAL
José Roberto Oliveira dos Santos

DIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E TECNOLOGIA EDUCACIONAL
Wagner de Oliveira

COMITÊ EDITORIAL DA DIRETORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA E TECNOLOGIAS
EDUCACIONAIS - CAMPUS AVANÇADO NATAL - ZONA LESTE/IFRN

PRESIDENTE
Wagner de Oliveira

SUPLENTES
João Moreno Vilas Boas de Souza Silva
Allen Gardel Dantas de Luna
Josenildo Rufino da Costa
Leonardo dos Santos Feitoza

MEMBROS
José Roberto Oliveira dos Santos
Albérico Teixeira Canário de Souza
Glacio Gley Menezes de Souza
Wagner Ramos Campos

PUBLICAÇÃO | EQUIPE

AUTORIA
João Moreno Vilas Boas e Wagner de Oliveira

CAPA
Iasmin Soares
do Nascimento

PROGRAMAÇÃO
Luiz Gustavo Oliveira Rocha
Rafaela Araújo de Albuquerque

REVISÃO
Maria Valeska Rocha
da Silva

PRODUÇÃO
Williany Bezerra de Souza

DIAGRAMAÇÃO
Amanda da Costa Marques

IMAGENS
Iasmin Soares do Nascimento
Maria Clara Lopes Galvão
Ana Beatriz Venceslau Coelho
Axel Marlon Lima dos Santos

PROGRAMA DE FOMENTO
Universidade Aberta do Brasil (UAB)

Boas, João Moreno Vilas.

              B662i Introdução a lógica e programação: curso de tecnologia em sistemas para internet [livro eletrônico] / João Moreno Vilas Boas, Wagner de Oliveira. – Natal : IFRN, 2025. 96 p. ; il ; PDF

ISBN nº 978-65-84831-54-4

           1. Educação. 2. Projeto - AVA. 3. Curso. 4. Informática. 5 Lógica - Docência. I. Oliveira, Wagner de. Título

SIBi/IFRN                                                                                                       CDU 004.414.2

Sistema Integrado de Bibliotecas
Elaborada pelo Bibliotecário
Ezequiel da Costa Soares Neto – CRB-15/613

Referências

Sem título Astro Card

https://escolakids.uol.com.br/matematica/razao-proporcao.htm
https://lirte.pesquisa.ufabc.edu.br/matreematica/a-matematica-do-cotidiano/ramos/grandezas-e-medidas/regra-de-tres/
https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-regra-de-tres/
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/razao-proporcao.htm
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/regra-de-tres-simples-e-composta
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
https://www.todamateria.com.br/porcentagem/

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